Функции Грина

[something strange]

Всем привет! Научный руководитель сказал прочитать статью Д. Н. Зубарева "Двухвременные функции Грина в статистической физике", 1960г. Начал читать, возникло множество вопросов:

1. Функции Грина вводятся обобщением корреляционных функций, которая с свою очередь определяются через среднее по статистическому ансамблю от произведения операторов в гейзенберговском представлении. Во-первых, никто не смог мне объяснить, каким образом среднее значение от произведения двух величин может характеризовать степень зависимости этих величин. Например, если взять две положительно определённые величины, заведомо не зависящие друг от друга, то корреляция между ними должна быть равна нулю, но среднее от их произведения нуль не даст. Во-вторых, не понятен смысл самого определения функции Грина (как вообще пришли к нему?) и как это определение связать с тем, что имеет место в теории дифференциальных уравнений. В статье написано примерно так: "запишем такую штуку, назовём её функцией Грина и рассмотрим пару примеров её применения", но мне хотелось бы понять, откуда эта штука взялась.

2. В чём смысл запаздывающих и опережающих функций Грина и среднего значения от коммутатора двух величин, которое присутствует в выражениях для данных функций?

3. Скорее всего, я просто глупец, но я не вполне уверен, что зависимость двух операторов от времени (при том, что два оператора берутся, вообще говоря, в разные моменты времени) не влияет на вычисление коммутатора этих двух операторов. Ведь экспоненты, присутствующие в выражениях операторов в представлении Гейзенберга, являются не константами, а тоже операторами.

4. В статье есть вот такое равенство:
$Q = \operatorname{Sp}\exp(-\frac{H}{kT}) = \exp(\frac{\Omega}{kT})$,
где Q - статистическая сумма для большого ансамбля Гиббса, $\Omega$ - термодинамический потенциал. Не смог понять, как это получить и как вычислить след от экспоненты с операторным аргументом.

Руководитель почему-то в ответ на все мои вопросы сказал мне "просто запомнить и пользоваться", но я так не могу, поэтому обращаюсь сюда за помощью.

[Alex-Yu]

something strange в сообщении #1130777 писал(а):

Во-первых, никто не смог мне объяснить, каким образом среднее значение от произведения двух величин может характеризовать степень зависимости этих величин. Например, если взять две положительно определённые величины, заведомо не зависящие друг от друга, то корреляция между ними должна быть равна нулю, но среднее от их произведения нуль не даст.

Это конечно так. Но обычно подразумевают величины со средним равным нулю. А если среднее не равно нулю, то вместо некой величины, скажем, $A$ в коррелятор подставляют $A-\langle A \rangle$.

-- Сб июн 11, 2016 19:40:53 --

something strange в сообщении #1130777 писал(а):

Во-вторых, не понятен смысл самого определения функции Грина (как вообще пришли к нему?)

"Методом тыка". Так часто приходят к чему-либо новому. Но некоторые наводящие соображения (всего лишь) найти можно.

-- Сб июн 11, 2016 19:42:47 --

something strange в сообщении #1130777 писал(а):

и как это определение связать с тем, что имеет место в теории дифференциальных уравнений.

Почитайте про флуктуационно-дисипационную теорему. И про формулу Кубо. Это наведет на некоторые мысли.

-- Сб июн 11, 2016 19:43:54 --

something strange в сообщении #1130777 писал(а):

Скорее всего, я просто глупец, но я не вполне уверен, что зависимость двух операторов от времени (при том, что два оператора берутся, вообще говоря, в разные моменты времени) не влияет на вычисление коммутатора этих двух операторов.

А с чего Вы взяли что не влияет? Именно влияет.

-- Сб июн 11, 2016 19:45:52 --

something strange в сообщении #1130777 писал(а):

$Q = \operatorname{Sp}\exp(-\frac{H}{kT}) = \exp(\frac{\Omega}{kT})$,
где Q - статистическая сумма для большого ансамбля Гиббса, $\Omega$ - термодинамический потенциал. Не смог понять, как это получить и как вычислить след от экспоненты с операторным аргументом.

$$ e^{-H/kT} = |E_n\rangle e^{-E_n/kT} \langle E_n| $$

где $ |E_n\rangle$ -- собственные функции гамильтониана $H$.

Если знаете собственные функции, то вычислить делать нечего. А иначе... А иначе --- как в любой другой задаче, нужно что-то придумывать. Теорию возмущений или еще что.

[something strange]

Alex-Yu в сообщении #1130782 писал(а):

Но обычно подразумевают величины со средним равным нулю.

Все равно я не понимаю, как среднее значение произведения двух величин может быть равно степени их зависимости...

Alex-Yu в сообщении #1130782 писал(а):

А с чего Вы взяли что не влияет? Именно влияет.

А экспоненты при этом просто перемножаются или тут есть подвох?

Alex-Yu в сообщении #1130782 писал(а):

$$ e^{-H/kT} = |E_n\rangle e^{-E_n/kT} \langle E_n| $$

Вы точно правильно расставили скобки? Если их поменять местами, то получится матричный элемент, а выражений такого вида я в учебниках не встречал...

[Munin]

something strange в сообщении #1130864 писал(а):

выражений такого вида я в учебниках не встречал...

Весьма странно. Это просто диагональная матрица.

[Alex-Yu]

something strange в сообщении #1130864 писал(а):

Все равно я не понимаю, как среднее значение произведения двух величин может быть равно степени их зависимости...

А чего тут понимать, тут все очевидно. Возмите предельный случай полной зависимости. Тогда это просто одна и та же величина, произведение на себя всегда положительно, после усреднения получится тоже положительно. Если же перемножаются независимые величины, то с равной вереоятностью их произведение может быть отрицательно и положительно, поссле усреднения получится ноль. Может быть, конечно, и полная "антикорреляция", когда одна величина равна минус другая.

-- Вс июн 12, 2016 01:03:09 --

something strange в сообщении #1130864 писал(а):

А экспоненты при этом просто перемножаются или тут есть подвох?

Какие экспоненты? $e^{\pm iHt}$? Перемножаются банально, поскольку в показателях коммутирующие между собой операторы (даже один и тот же оператор, просто с разным множителем).

-- Вс июн 12, 2016 01:06:48 --

something strange в сообщении #1130864 писал(а):

Вы точно правильно расставили скобки? Если их поменять местами, то получится матричный элемент

Правильно. А матричный элемент --- это $e^{-E_n/kT}$ ибо это равно $\langle E_n | e^{-H/kT} | E_n \rangle$. Недиагональных матричных элементов здесь нет, ибо $| E_n \rangle$ есть собственная функция $H$ (а значит и экспоненты от этого оператора тоже).


А вообще нужно знать формулу

$$ \sum_n | E_n \rangle \langle E_n | = 1 $$

которая справедлива не только для набора энергетических состояний, но и для любого другого полного набора (нормированных) состояний. Собственно, как легко сообразить, это и есть выражение полноты. А дальше единицу можно вставить в любое место, от этого ничего не поменяется. Очень удобный способ тождественных преобразований. Вот и умножте на такую единицу операторную экспоненту и справа, и слева. И автоматически получите то, что я написал. А вообще любой оператор $A$ таким способом представляется в таком виде:

$$ A=\sum_{nm}|n\rangle \langle n| A | m \rangle \langle m | $$

где $| n \rangle$ --- любой полный набор состояний.

[something strange]

Munin, Alex-Yu, да, действительно, это я просто глупый Большое спасибо!

[something strange]

Alex-Yu в сообщении #1130890 писал(а):

Возмите предельный случай полной зависимости.

А если рассмотреть два случая: в первом взять корреляцию величины с сомой собой, а во втором - корреляцию величины с её квадратом? Зависимость полная и там и там, а коррелятор будет разным. А должен бы быть равен единице в случае полной зависимости

[arseniiv]

Корреляция показывает только насколько зависимость линейна. Это, честно говоря, больше вопросы теорвера, просто квантовая механика немного отличается от него, и совсем в терминах теорвера не получится. Хотя есть общий для них обоих формализм (но я о нём мало знаю).

Можно взять две случайные величины — координаты точки на окружности, любая из которых выпадает равновероятно. Корреляция упомянутых величин будет ноль, хотя они явно зависимы: сумма их квадратов постоянна.

[something strange]

Хм... А правильно ли я понимаю, что, если величины А и В никак не зависят друг от друга, то среднее их произведения равно произведению их средних, а если они взаимно зависимы, то это уже неверно? Не в этом ли смысл коррелятора? Затупил снова

[arseniiv]

Если независимы, то некоррелированы, это да. Но зависмые могут тоже быть некоррелированными. Выше я привёл пример с $\cos\theta$ и $\sin\theta$, где $\theta$ равномерно распределена на $[0;2\pi)$ (извиняюсь за теорвероятностную терминологию). Имеем

$$\mathsf{E}(\sin\theta) = \mathsf{E}(\cos\theta) = \mathsf{E}(\sin\theta)\mathsf{E}(\cos\theta) = 0$$

(это обозначение матожидания величины, снова извините), но и $\mathsf{E}(\sin\theta\cos\theta) = \mathsf{E}(\frac12\sin2\theta) = 0$ (надеюсь на интуицию, потому что строго это доказывать здесь не стоит).

[something strange]

Оммм, теперь дошло, кажется. А причинная функция Грина - это по сути тот же коррелятор, только ещё и с упорядочиванием операторов по времени? И в чём её смысл? Расстановка операторов в хронологическом порядке ведь не влияет на корреляцию.

-- 13.06.2016, 02:31 --

Хотя среднее значение коммутатора ведь не равно нулю, если переменные не коммутируют. А среднее значение коммутатора - это разность двух корреляторов. Выходит, порядок операторов влияет на их корреляцию что ли?

[Alex-Yu]

something strange в сообщении #1131088 писал(а):

И в чём её смысл?

Смысл в том, что оператор эволюции в представлении взаимодействия есть Т-экспонента, разложение которой в ряд порождает именно Т-произведения. Так что в теории естественным образом возникают именно такие ФГ.

Разные ФГ можно вразить друг через друга с помощью так называемых спектральых представлений.

-- Пн июн 13, 2016 19:26:25 --

arseniiv в сообщении #1131032 писал(а):

Корреляция показывает только насколько зависимость линейна.

Надо бы еще заметить, что кроме корреляторов второго порядка бывают корреляторы высшего порядка (среднее от произведения более двух величин). То, что Вы сказали, относится только к корреляторам второго порядка.

-- Пн июн 13, 2016 19:28:40 --

something strange в сообщении #1131088 писал(а):

А среднее значение коммутатора - это разность двух корреляторов. Выходит, порядок операторов влияет на их корреляцию что ли?

Проосто в квантовой физике бывают разные корреляторы (лучше сказать разные функции Грина). Физической (измеримой) корреляции соответствуют корреляторы в виде среднего от антикоммутатора.