Какое максимальное значение может иметь НОД?

[Ktina]

Какое наибольшее значение может иметь наибольший общий делитель чисел

$$n^2+69$$

и

$$(n+2)^2+69$$

, если $n$ - натуральное?

[iifat]

(Оффтоп)

Ну, дык алгоритм Евклида даёт 280 (если умножить в одном месте на 4). Вот же он, самый-самый максимальный. Если реально достижим, конечно.

[Ktina]

iifat
Недостижим, иначе задача была бы чересчвунбур простой.

[NSKuber]

Числа отличаются на $4n+4$. Пусть простое $p$ делит оба числа. Тогда оно делит и $4n+4$, значит $n$ сравнимо с $-1$ по модулю $p$.
Тогда первое число сравнимо с $70$. Значит $p$ должно делить $70$. Это и есть максимум, достигается на $n=69 + 70k$.

[Ktina]

NSKuber
Спасибо!