Континуальный интеграл (у Райдера)

[Cos(x-pi/2)]

При нормировке в ящике объёмом $\tau=L^3,$ где $L$ - линейный размер прямоугольного ящика (т.е. куба с ребром $L),$ на волновые функции частицы налагаются условия пространственной периодичности:

$\psi(x+L,y,z)=\psi(x,y,z)$ ,
$\psi(x,y+L,z)=\psi(x,y,z)$ ,
$\psi(x,y,z+L)=\psi(x,y,z)$ .

Применительно к плоским волнам, т.е. к функциям вида $\frac{1}{\sqrt{\tau}}e^{ \frac{i}{\hbar}(p_xx+p_yy+p_zz)},$ это даёт условия для проекций импульса:

$e^{ \frac{i}{\hbar}p_xL}=1 \, ,$
$e^{ \frac{i}{\hbar}p_yL}=1 \, ,$
$e^{ \frac{i}{\hbar}p_zL}=1 \, .$

Отсюда следует, что проекции импульса принимают дискретные значения:

$p_x=\frac{2 \pi \hbar}{L}n_x \, , \qquad p_y=\frac{2 \pi \hbar}{L}n_y \, , \qquad p_z=\frac{2 \pi \hbar}{L}n_z \, ,$

где $n_x,$ $n_y$ и $n_z$ принимают значения $0, \, \pm 1, \, \pm 2, \, ...$ (до бесконечности).

Видно, что шаг дискретности каждой из проекций мал в меру малости $\frac{1}{L}$ (поскольку размер $L$ можно выбрать сколь угодно большим), и составляет:

$\Delta p_x = \Delta p_y = \Delta p_z = \dfrac{2 \pi \hbar}{L}$ .

Вероятность перехода частицы в конечное состояние (final, но метку f далее не пишу для краткости) с точно заданным дискретным значением вектора импульса $\mathbf{p}$ практического смысла не имеет. Смысл имеет вероятность перехода в любое из состояний с близкими значениями вектора импульса - с проекциями в промежутках

от $p_x$ до $p_x+dp_x$ ,
от $p_y$ до $p_y+dp_y$ ,
от $p_z$ до $p_z+dp_z$ .

Подсчитаем количество состояний с примерно равными друг другу дискретными векторами импульса в элементе "объёма" $\mathbf{p}$-пространства $d^3 \mathbf{p}=dp_xdp_ydp_z:$

$\dfrac{d^3 \mathbf{p}}{\Delta p_x \, \Delta p_y \, \Delta p_z}=\dfrac{L^3 \, d^3 \mathbf{p}}{(2 \pi \hbar)^3} = \dfrac{\tau \, d^3 \mathbf{p}}{(2 \pi \hbar)^3}$ .


Если $|A|^2$ есть вероятность обнаружить частицу с точно заданным $\mathbf{p},$ то вероятность обнаружить её в любом из состояний с близкими значениями импульса в элементе $d^3 \mathbf{p}$ равна произведению $|A|^2$ и количества таких состояний, т.е. она равна

$|A|^2 \dfrac{\tau \, d^3 \mathbf{p}}{(2 \pi \hbar)^3}$ .

(P.S. Многие авторы обозначают элемент объёма $\mathbf{p}$-пространства $d^3 \mathbf{p}$ просто как $d \mathbf{p}.)$

[Ascold]

Ещё такой вопрос - в последнем абзаце http://bookre.org/reader?file=566498&pg=210 делаются переходы $T\to\pm\infty e^{\pm i\delta}$. Год назад я натыкался на подобное у Пескина и Шредера, мне Munin дал объяснение post960221.html#p960221, однако чем-то мне этот подход не нравится...
Вот представим себе ситуацию не из КТП, решаю я, допустим, задачу о линейных электрических цепях методом комплексных амплитуд, получил зависимость какой-нибудь величины $x=Ae^{iwt}$ и вижу, что на бесконечности нет предела величины $x$, колеблется она. Но тут я возьму, да и применю вышеуказанный приём: добавлю к $t$ небольшую мнимую добавку $i\delta t$, тогда при

$$t\to\infty $$

$$x=Ae^{iwt(1+i\delta)}=Ae^{iwt}e^{-w\delta t}\to 0,$$

что, естественно, бред, и не имеет право такой приём использоваться. Как правило, в теории цепей подобная замена будет значить переход от чего-нибудь идеального к чему-нибудь с ненулевым сопротивлением в отсутствии источников питания.
А что, помимо авторитета Пескина, Райдера и Munin-а, обеспечивает корректность этого подхода в КТП при вычислении амплитуд перехода?

[amon]

Это два разных утверждения. Райдер утверждает, что предел $\lim\limits_{\varepsilon\to0}\lim\limits_{E\to\infty,E'\to-\infty}\text{от чего-то там}=\text{чему-то там}$. Причём пределы надо брать именно в этом порядке. Это вполне себе математически корректное утверждение, которое можно проверить прямым вычислением пределов, как в школе учили.

У Пескина-Шредера написан Фурье-образ функции Грина. Как известно, эта функция определена с точностью до решения свободного уравнения. Прибавление $i0$ фиксирует функцию точно. В обоих случаях к сходимости это (пока ;) отношения не имеет.

[Ascold]

Цитата:

Это два разных утверждения.

вроде, разобрался.
Далее Райдер пишет, что при вычислении пределов остаётся только основное состояние - вакуум. Насколько я понимаю, это связано с тем, что энергия вакуума $E_0$ меньше всех остальных энергий $E_n$ и потому экспонента от минус неё убывает на больших временах медленнее?
Понять бы ещё, почему добавка в интеграл действия слагаемого $iJq\hbar$ означает рождение или уничтожение частиц...

[amon]

Ascold в сообщении #1124952 писал(а):

Понять бы ещё, почему добавка в интеграл действия слагаемого $iJq\hbar$ означает рождение или уничтожение частиц

На почти тривиальном примере. Есть у нас осциллятор с гамильтонианом $\hat{H}=\frac{\hat{p}^2+\hat{q}^2}{2}$. Его (надеюсь, знаете как) можно переписать через операторы рождения и уничтожения: $\hat{H}=\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}$. Величина $N=a^+a$ (шляпки над операторами больше не рисую, бо ленив) это оператор числа частиц. Наш гамильтониан число частиц сохраняет, поскольку коммутирует с $N$. Теперь добавим к гамильтониану $J\hat{q}$, где $J$ - число. Получившийся гамильтониан число частиц уже не сохраняет, поскольку с $N$ не коммутирует (что бы в этом убедится, надо выразить $q$ через $a$).

[Cos(x-pi/2)]

С ответом я опоздал, но рискну всё-таки его выложить, раз уж напечатал:

Сначала поправка: в интеграл действия добавка идёт без мнимой единицы.

Понять смысл добавки легко, заметив, что функция $ \hbar J(t)=F(t)$ здесь играет роль заданной внешней силы в механике частицы. Ведь здесь в функцию Лагранжа $L(q, \dot{q})$ добавляется член $qF(t).$ Это аналогично добавке в потенциальную энергию частицы $U(q)$ слагаемого $-qF(t);$ тем самым в задачку вводится сила $-\partial U / \partial q=F(t).$ В общем случае она совершает работу - изменяет энергию частицы; конкретно, если частица покоилась ("основное состояние"), то внешняя сила может увеличить её энергию - перевести частицу в "возбуждённое состояние".

Теперь, чтобы получилась аналогия с теорией поля, подразумевайте под частицей гармонический осциллятор с собственной частотой $\omega.$ Тогда аналогией для "частиц в квантовой теории поля" будут служить кванты энергии $\hbar \omega$ осциллятора. Внешняя сила $F(t)$ ("источник" на языке теории поля) возбуждает осциллятор, находившийся в основном состоянии ("вакуумном состоянии" на языке теории поля), передавая ему кванты энергии $\hbar \omega$ (т.е. "рождая частицы" на языке теории поля).

Почему при этом можно говорить об амплитуде перехода "вакуум - вакуум в присутствии источника"? Оказывается потому, что после окончания действия внешней силы осциллятор остаётся не в стационарном состоянии, а в когерентном - с неопределённым числом квантов энергии; в том числе отлична от нуля и амплитуда вероятности обнаружить его с нулём квантов, т.е. - обнаружить "вакуумное" конечное состояние.

(Если интересуют детали этой квантово-механической задачи, то подробно её лучше начать рассматривать с задачки о классическом осцилляторе с внешней силой $F(t),$ действующей на конечном интервале времени: см. в ЛЛ-1 § 22 "Вынужденные колебания", ф-ла (22,12). Затем см., например, задачи 6.25 и 6.30 в задачнике Галицкого, Карнакова, Когана (номера задач привёл по изданию 1992 года), и/или в книге А.М. Переломова о когерентных состояниях § 12.1, и/или в книге Фейнмана об интегралах по траекториям гл. 8 § 9.)

[Ascold]

На стр. 204 http://bookre.org/reader?file=566498&pg=204 пишется, что в случае частицы, описываемой волновой механикой не обязательно $E=p^2/2m$, кроме волнового пакета нулевого размера. Мне изначально показалось странным, что Райдер совершенно независимо проводит фурье-преобразование по импульсу и энергии. Почему так, что из обычной КМ я пропустил, где здесь физическое утверждение, отличное от простого желания разлагать в интеграл Фурье по $p$ и по $E$ как будто они независимы? Ведь импульс и энергия частицы не являются одновременно неизмеримыми, их операторы коммутируют(на всех хороших волновых функциях), а Райдер пишет, что распространение будет при любых значениях $p$ и $E$, что, мне кажется, противоречит одновременной их измеримости. Или же имеется ввиду, что всевозможные "траектории" частиц таковы, что на них почему-то нарушается $E=p^2/2m$?

[Cos(x-pi/2)]

В выкладках на стр. 203 всё объяснено (см. также примечание внизу этой страницы).

Если кратко, то дело в том, что рассматриваемый в книге пропагатор как функция времени $\tau$ не есть волновая функция стационарного состояния (свободной нерелятивистской частицы с определённым импульсом $\mathbf{p}$ и энергией $E_{\mathbf{p}}=\mathbf{p}^2/(2m)).$

Волновая функция стационарного состояния зависит от времени $\tau$ как

$$\exp(-\frac{i}{\hbar}E_{\mathbf{p}} \tau) \qquad \text{при всех} \, - \infty < \tau < \infty \, ,$$

и поэтому её фурье-преобразование по переменной $\tau$ даст дельта-функцию $\delta(E-E_{\mathbf{p}}).$ Другими словами: "частота" $E=E_{\mathbf{p}},$ если это состояние живёт бесконечно долго ("реальное" состояние частицы, состояние "на массовой поверхности").

Но в зависящий от $\tau$ пропагатор входит ещё и множитель в виде ступенчатой функции $\theta( \tau),$ отличный от нуля лишь при положительных значениях $\tau.$ Поэтому фурье-образ пропагатора по $\tau$ содержит не только слагаемое в виде дельта-функции $\delta(E-E_{\mathbf{p}}),$ но и "широкий спектр частот" $E$ ("виртуальные состояния" частицы). На сей счёт известна полезная формула:

$$\dfrac{1}{E-E_{\mathbf{p}}+i\varepsilon}=P\dfrac{1}{E-E_{\mathbf{p}}}-i \pi \delta(E-E_{\mathbf{p}}) \, ,$$

где символ $P$ означает, что при интегрировании функций вида $f(E)/(E-E_{\mathbf{p}})$ по $E$ надо будет брать главное значение интеграла.

[Ascold]

Цитата:

В выкладках на стр. 203 всё объяснено (см. также примечание внизу этой страницы).

Уже не первый день читаю, и выкладки эти проделал, там, кстати, в знаменателе формулы (5.43) написано $E$ вместо $E_1$.

Цитата:

На сей счёт известна полезная формула:

$$\dfrac{1}{E-E_{\mathbf{p}}+i\varepsilon}=P\dfrac{1}{E-E_{\mathbf{p}}}-i \pi \delta(E-E_{\mathbf{p}}) \, ,$$

А где можно почитать про происхождение этой формулы? Я пока что вижу ситуацию так: интеграл по переменной $\tau$ в исходном виде расходится, что равносильно отсутствию фурье-образа $\theta$-функции, но какой-то мыслитель решил спасти ситуацию малой добавкой $i\epsilon$, которая делает интеграл сходящимся. Из этого вытекает формула амплитуды перехода из состояния$(p_0,E_0)$ в состояние $(p_1,E_1)$, при этом, как я понимаю, эти начальное и конечное состояния на "массовой поверхности", несмотря на то, что

Цитата:

Если кратко, то дело в том, что рассматриваемый в книге пропагатор как функция времени $\tau$ не есть волновая функция стационарного состояния (свободной нерелятивистской частицы с определённым импульсом $\mathbf{p}$ и энергией $E_{\mathbf{p}}=\mathbf{p}^2/(2m)).$

так ведь? Искомый пропагатор

$$k_0(\mathbf{p_1},E_1;\mathbf{p_0},E_0)=(2\pi\hbar)^4\delta(\mathbf{p_0}-\mathbf{p_1})\delta(E_0-E_1)\frac{i\hbar}{E_1-\mathbf{p_1}^2/2m+i\epsilon}$$

наводит на мысль, что если $\epsilon\to0$, то при $E_1=p_1^2/2m$ у нас будет непонятно(по крайней мере для меня): при условии сохранения импульса и энергии бесконечность от дельта-функции разделится на бесконечно малую, если же $E_1\ne \mathbf{p_1}^2/2m$, то на конечную величину. Что как бы намекает, что почему бы и не быть $E_1\ne \mathbf{p_1}^2/2m$, но с другой стороны, хоть $E_1$ - это одна из переменных для фурье-разложения, но изначально-то задавались целью вычислить амплитуду перехода свободной частицы от одного стац. состояния в другое, разве нет?
Мне кажется, сам вид разложения намекает на это: Райдер пишет

$$k_0(\mathbf{p_1},E_1;\mathbf{p_0},E_0)=\int exp[\frac{iE_1t_1}{\hbar}]K_0(\mathbf{p_1}t_1;\mathbf{p_0}t_0)exp[-\frac{iE_0t_0}{\hbar}]dt_1dt_0,$$

что можно интерпретировать как то, что частица, изначально находящаяся в стационарном состоянии $\psi(x_0,t_0)=exp[-\frac{iE_0t_0}{\hbar}]$ перешла в состояние с в.ф. $\psi(x_1,t_1)=exp[-\frac{iE_1t_1}{\hbar}]=\int K_0(\mathbf{p_1}t_1;\mathbf{p_0}t_0)exp[-\frac{iE_0t_0}{\hbar}]dt_0, $ ну а затем, умножив её на комплексно-сопряжённое $$\psi^*(x_1,t_1)=exp[\frac{iE_1t_1}{\hbar}]$ и проинтегрировав, получим амплитуду вероятности перехода из нулевого состояния в первое, т.е. $E_0$ и $E_1$ - это "настоящие энергии".
Вообще говоря, можно было бы и по-другому разложить в интеграл Фурье: например, написать

$$k'_0(\mathbf{p_1},E_1;\mathbf{p_0},E_0)=\int exp[-\frac{iE_1t_1}{\hbar}]K_0(\mathbf{p_1}t_1;\mathbf{p_0}t_0)exp[\frac{iE_0t_0}{\hbar}]dt_1dt_0,$$

или

$$k''_0(\mathbf{p_1},E_1;\mathbf{p_0},E_0)=\int exp[\frac{iE_1t_1}{\hbar}]K_0(\mathbf{p_1}t_1;\mathbf{p_0}t_0)exp[\frac{iE_0t_0}{\hbar}]dt_1dt_0,$$

или

$$k'''_0(\mathbf{p_1},E_1;\mathbf{p_0},E_0)=\int exp[-\frac{iE_1t_1}{\hbar}]K_0(\mathbf{p_1}t_1;\mathbf{p_0}t_0)exp[-\frac{iE_0t_0}{\hbar}]dt_1dt_0,$$

но тогда величины $k'_0, k''_0, k'''_0$ не были бы пропагаторами из нулевого в первое состояния, так что $E_0$ и $E_1$, мне кажется, - не просто какие-то переменные, а именно энергии в нулевом и первом состоянии.
Всё же что заставляет нас считать, что $E_1=\frac{\mathbf{p_1}^2}{2m}$ не обязательно?