Теннисный мячик в стакане с водой

[vanger]

Если опустить теннисный мячик в стакан с водой, заполненный наполовину, то он будет стремиться к стенкам. Если же стакан заполнен "через край", то мячик стремится в центр. Вот ролик, демонстрирующий это: https://www.youtube.com/watch?v=M4ZATwHfheQ

Поверхность жидкости искривлена из-за поверхностного натяжения, и мячик лезет в наивысшую область. Когда стакан заполнен наполовину, разумным кажется такое объяснение. Поверхность вогнута, из-за поверхностного натяжения давление под плёнкой воды меньше, чем снаружи. Поэтому разность давлений в мокрой (синяя) и сухой (зелёная) частях шарика толкает его к стенке.


А когда стакан заполнен "с горкой"? Давление внутри больше, чем снаружи, и, казалось бы, мячик снова должен двигаться к стенке, что не так. Почему так происходит? Гидростатическое давление тоже "в ту же сторону давит". Ясно, что, так или иначе, причиной всему -- поверхностное натяжение, и, видимо, площадь поверхности минимизируется, когда шарик в центре. Но как это соотносится со сказанным выше?


Интересно было бы написать уравнение движения в каком-то приближении, найти его периодическое решение и посмотреть, получится ли период разумным, хотя бы с точностью до порядка. Но сперва надо разобраться с кажущимся противоречием, указанным выше.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[se-sss]

Ещё на мячик действует сила поверхностного натяжения, приближённо перпендикулярная поверхности жидкости.
Поверхность теннисного мячика, как я полагаю, хорошо смачивается, поэтому поверхностное натяжение пытается поглотить шарик.

[vanger]

Похоже на правду.

Площадь основания сферической шапочки высотой $h$ есть $S = \pi (2Rh - h^2)$. Это то, насколько уменьшается площадь поверхностного слоя. Значит сила, с которой вода всасывает шарик

$$ F_{suck} = \frac{d}{dh} \sigma S = 2 \sigma (R - h), $$

где $R = 2 sm$ -- радиус шарика, $h \approx 0.5 sm$ -- глубина его погружения, $\sigma \approx 0.075 N/m$ -- коэффициент поверхностного натяжения воды.

Примем поверхность воды за сферическую с радиусом кривизны $R_{curv}$ порядка метра. Пусть $\alpha$ -- (малый) угол между прямой из центра кривизны поверхности к центру шарика и вертикалью. Тогда 2 закон Ньютона в проекции на горизонталь для шарика есть

$$ m R_{curv} \ddot \alpha = - F_{suck} \alpha, $$

где $m = 2.7 g$ -- масса мячика.
Это уравнение гармонического осциллятора с периодом

$$ T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m R_{curv}}{F_{suck}} } \approx 6.9 s. $$

А мячик как раз от края до центра доходит за время порядка секунды. Дальше затухание начинает играть сильную роль.

[druggist]

se-sss в сообщении #1130450 писал(а):

Ещё на мячик действует сила поверхностного натяжения, приближённо перпендикулярная поверхности жидкости

Такой силы не существует

[se-sss]

druggist в сообщении #1130611 писал(а):

Такой силы не существует

Почему? Если стенки капилляра, поднимают столбик воды вверх, то, в свою очередь, этот столбик тянет стенки вниз.
А в даном случае стенки смачиваются с наружной стороны, да ещё и нецилиндрические. Но принципиальной разницы нет.

[druggist]

se-sss в сообщении #1130688 писал(а):

Почему?

Сила поверхностного натяжения действует в плоскости соответствующего интерфейса (жидкость-газ, жидкость-тв.тело, тв.тело-газ), это, кажется, в ср. школе проходят

[druggist]

vanger в сообщении #1130434 писал(а):

Ясно, что, так или иначе, причиной всему -- поверхностное натяжение, и, видимо, площадь поверхности минимизируется, когда шарик в центре. Но как это соотносится со сказанным выше?

Когда вода налита "с горкой", то мениск по ободу стакана выпуклый(жидкости есть куда смещаться в боковом направлении), а когда наполовину - вогнутый. Сила лапласового давления будет иметь в первом случае составляющую к центру стакана, а во втором - от центра. Это, по-видимому, приводит к устойчивому положению шарика в центре в первом случае и неустойчивому во втором

[vanger]

druggist в сообщении #1130751 писал(а):

Сила лапласового давления будет иметь в первом случае составляющую к центру стакана

Так, казалось бы, наоборот. Поверхность выпукла -- давление под поверхностью избыточно, нормаль к поверхности торчит от центра.

Что скажете про моё объяснение? Смотрим на зависимость свободной энергии от глубины погружения шарика. Можно показать, что в скорость её изменения основной вклад даёт "вырезание куска поверхности шариком", а скорость изменения площади из-за "выпучивания поверхности в целом" мала. Таким образом, получаем силу, с которой поверхность всасывает шарик. Она имеет вертикальную составляющую. Аппроксимируя повехность сферой, получаем горизонтальную составляющую силы, и, как следствие, правдоподобную оценку. Есть ещё горизонтальная составляющая силы Архимеда, или как её правильней назвать -- вызванная разностью давлений на "синюю" и "зелёную" части шарика. Это и есть та составляющая лапласова давления (избыточное давление из-за кривизны поверхности), которое меня и смущало в стартпосте. Но можно показать, что она много меньше горизонтальной составляющей всасывающей силы.

Ещё, оценив радиус кривизны поверхности (самое мутное место оценки, вместе с самим сферическим приближением), можно получить, по крайней мере, качественно верный результат о том, что время движения от края к центру растёт с ростом размера чашки. А именно, объём сферической шапочки (которой мы приближаем форму воды над чашкой) радиусом $R$ высотой $H$ есть $\frac13 \pi H^2 (3 R - H) \approx \pi R H^2$. $H$ порядка миллиметра. С другой стороны, объём шапочки есть $\frac16 \pi H (3 A^2 + H^2) \approx \frac12 \pi A^2 H$, где $A$ -- радиус чашки. Так что $R \approx \frac{A^2}{2H}$. Что, с одной стороны, даёт какую-то мотивацию считать радиус кривизны поверхности порядка метра ($H \approx 1$ см, $A \approx 4$ см), а, с другой стороны, предсказывает рост времени движения с с ростом размера чашки, как и есть на самом деле.

[druggist]

se-sss в сообщении #1130450 писал(а):

Поверхность теннисного мячика, как я полагаю, хорошо смачивается, поэтому поверхностное натяжение пытается поглотить шарик.

Это просто чепуха, смажте шарик жиром, эффект будет точно таким же.

[GraNiNi]

druggist в сообщении #1130836 писал(а):

смажте шарик жиром, эффект будет точно таким же.

А если жиром смазать стенки стакана, то где будет шарик?