Обсуждение статьи Ruslan_Sharipov о критических значениях

[g______d]

atlakatl в сообщении #1130226 писал(а):

Включая тот факт, что множество значений в критических точках конечно.

Это тривиальное следствие теории исключения и леммы Сарда. См., например, Milnor, "Singular Points on Complex Hypersurfaces", Corollary 2.8.

Как отметил Xaositect, существует эффективная процедура нахождения многочлена, дающего в точности критические значения (без лишних корней), что уже лучше, чем ваше $q(v)$.

[g______d]

Ещё можно посмотреть сюда

http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/utes ... nation.pdf

страница 68; там описывается такая же процедура (только не сказано, что это тянет на классический результат) и объясняется, чем она плоха.

[Ruslan_Sharipov]

g______d в сообщении #1130287 писал(а):

Как отметил Xaositect, существует эффективная процедура нахождения многочлена, дающего в точности критические значения (без лишних корней), что уже лучше, чем ваше $q(v)$.

Процедура исключения по алгоритму Бухбергера и базисам Грёбнера может завершиться неполным исключением и не дать многочлена от одной переменной. Почему в данном случае она завершается многочленом $q(v)$ - это может стать предметом отдельного рассмотрения, которое может быть не очень простым. В моём подходе не процедура, а формула. И никакого отдельного рассмотрения не требуется.

[g______d]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130377 писал(а):

Процедура исключения по алгоритму Бухбергера и базисам Грёбнера может завершиться неполным исключением и не дать многочлена от одной переменной. Почему в данном случае она завершается многочленом $q(v)$ - это может стать предметом отдельного рассмотрения, которое может быть не очень простым.

Она больше ничем не может закончиться. В худшем случае вы получите не один многочлен от одной переменной, а несколько; ну тогда возьмите их НОД. Лемма Сарда гарантирует, что никакого вырождения не будет.

-- Чт, 09 июн 2016 09:16:50 --

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130377 писал(а):

не процедура, а формула. И никакого отдельного рассмотрения не требуется.

Вы просто взяли наивную процедуру последовательного исключения одной переменной за другой и обозначили её шаги буквами $D$. Если вы думаете, что раньше никто до этого не додумывался, то вынужден вас разочаровать; проблема именно с лишними корнями, которые делают результат абсолютно бесполезным.

[Xaositect]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130377 писал(а):

Процедура исключения по алгоритму Бухбергера и базисам Грёбнера может завершиться неполным исключением и не дать многочлена от одной переменной. Почему в данном случае она завершается многочленом $q(v)$ - это может стать предметом отдельного рассмотрения, которое может быть не очень простым. В моём подходе не процедура, а формула. И никакого отдельного рассмотрения не требуется.

Алгоритм Бухбергера гарантированно дает базис Гребнера для идеала $k[v] \cap \left<f-v, \partial_i f\right>$. Это идеал многочленов от одной переменной, поэтому сокращенный базис у него будет из одного многочлена.

[Ruslan_Sharipov]

Если выставлен знак объединения $k[v] \cup \left<f-v, \partial_i f\right>$, как у Вас, то это и не идеал вовсе. Если поставить знак пересечения, то где гарантия, что такой идеал отличен от нуля?

[Xaositect]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130405 писал(а):

Если выставлен знак объединения $k[v] \cup \left<f-v, \partial_i f\right>$, как у Вас, то это и не идеал вовсе. Если поставить знак пересечения, то где гарантия, что такой идеал отличен от нуля?

Да, там пересечение, исправил.

Этот идеал есть в точности идеал многообразия, которое получается как замыкание проекции многообразия $\{(\bar{x},v) | f(\bar{x}) = v, df(\bar{x}) = 0\}$ на последнюю координату, то есть в нашем случае как раз идеал, который определяет множество критических точек.

-- Чт июн 09, 2016 18:43:01 --

См. напр. тут: https://rigtriv.wordpress.com/2008/07/2 ... -theorems/

[Ruslan_Sharipov]

Xaositect в сообщении #1130408 писал(а):

Этот идеал есть в точности идеал многообразия, которое получается как замыкание проекции многообразия $\{(\bar{x},v) | f(\bar{x}) = v, df(\bar{x}) = 0\}$ на последнюю координату.

Если так, то доказательство отличия этого идеала от нуля равносильно доказательству конечности критических значений. Это всё-же некое отдельное рассмотрение.

g______d в сообщении #1130381 писал(а):

Вы просто взяли наивную процедуру последовательного исключения одной переменной за другой и обозначили её шаги буквами $D$.

Буквы $D$ в формуле (8.3) - это не просто обозначения. Это дискриминанты.

g______d в сообщении #1130381 писал(а):

Если вы думаете, что раньше никто до этого не додумывался

До этой формулы не додумывался никто.

g______d в сообщении #1130381 писал(а):

проблема именно с лишними корнями

Лишних корней может и не быть. Просто я не занимался доказательством их отсутствия, потому не заявляю, что их нет.

[g______d]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130433 писал(а):

Буквы $D$ в формуле (8.3) - это не просто обозначения. Это дискриминанты

Ну и что. Да, на каждом шаге мы исключаем одну переменную и навешиваем один дискриминант по остальным переменным. Это именно то, что описывается по ссылке, которую я приводил выше, только я страницу перепутал (сорри), должно быть 64. Формула (12.2).

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130433 писал(а):

не додумывался никто.

Её просто никто явно не выписывал в силу её тривиальности и бесполезности. А может даже и выписывали.

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130433 писал(а):

Просто я не занимался доказательством их отсутствия, потому не заявляю, что их нет.

В случае общего положения их будет намного больше, чем критических значений.

[Ruslan_Sharipov]

g______d в сообщении #1130329 писал(а):

http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/uteshev/elimination/elimination.pdf

Элиминантой в Вашей ссылке авторы называют результант (см определение на стр. 46). А с результантами мы уже разобрались.

Xaositect в сообщении #1130276 писал(а):

Да, я ошибся. Я думал, тут можно использовать результант $n$ многочленов от $n$ переменных, но тут возникают проблемы

g______d в сообщении #1130438 писал(а):

В случае общего положения их будет намного больше, чем критических значений.

В отличие от Вас, я не делаю бездоказательных заявлений.

[g______d]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130445 писал(а):

В отличие от Вас, я не делаю бездоказательных заявлений.

... кроме того, что результат тянет на классический