Обсуждение статьи Ruslan_Sharipov о критических значениях

[Ruslan_Sharipov]

Включая тот факт, что множество значений в критических точках конечно. Число корней многочлена $q(v)$ может быть больше числа критических значений. Но все критические значения однозначно содержатся среди корней этого многочлена.

[atlakatl]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130215 писал(а):

Выведена формула для вычисления $q(v)$ через $p(x_1,\ldots,x_n)$

Dan B-Yallay в сообщении #1130219 писал(а):

Пусть $p_1, p_2, p_3, ..., p_m$ - значения полинома $p(x_1,\ldots,x_n)$ в его критических точках

Это разные постановки задач. В общем случае корни полинома можно найти только численно.
Ruslan_Sharipov, у Вас же утверждается:

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130215 писал(а):

Выведена формула для вычисления $q(v)$ через $p(x_1,\ldots,x_n)$

[Dan B-Yallay]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130223 писал(а):

Включая тот факт, что множество значений в критических точках конечно.

А у полинома, пусть даже от нескольких переменных, может быть бесконечное число критических точек?

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130223 писал(а):

Число корней многочлена $q(v)$ может быть больше числа критических значений.

Ну так я могу к нему еще несколько сомножителей дописать, мне нетрудно.

-- Ср июн 08, 2016 23:27:46 --

atlakatl в сообщении #1130226 писал(а):

Это разные постановки задач. В общем случае корни полинома можно найти только численно.

Поясните мысль: о корнях какого именно полинома вы говорите?
$p(x_1...x_n)$?
$q(v)?$

[Ruslan_Sharipov]

Dan B-Yallay в сообщении #1130227 писал(а):

А у полинома, пусть даже от нескольких переменных, может быть бесконечное число критических точек?

Да, может. Например, полином $p(x_1,x_2)=(x_1^2+x_2^2-1)^2$ имеет в качестве критических точек целую окружность.

Dan B-Yallay в сообщении #1130227 писал(а):

Ну так я могу к нему еще несколько сомножителей дописать, мне нетрудно.

Можете. Но Ваш полном не будет эффективным образом вычислимым по коэффициентам полинома $p(x_1,\ldots,x_n)$.

Dan B-Yallay в сообщении #1130227 писал(а):

Поясните мысль: о корнях какого именно полинома вы говорите?

О корнях полинома $q(v)$, который специальным образом вычисляется по коэффициентам полинома $p(x_1,\ldots,x_n)$ и включает в число своих корней все критические значения полинома $p(x_1,\ldots,x_n)$.

[Dan B-Yallay]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130230 писал(а):

Можете. Но Ваш полном не будет эффективным образом вычислимым по коэффициентам полинома $p(x_1,\ldots,x_n)$

Да. Но это уже вторая часть вашего результата. Я же спрашивал о первой - доказательство существования.

[Ruslan_Sharipov]

Dan B-Yallay в сообщении #1130231 писал(а):

Я же спрашивал о первой - доказательство существования.

Нет разделения на части. Существование $q(v)$ доказывается тем, что предъявляется формула для вычисления $q(v)$.

[Dan B-Yallay]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130230 писал(а):

Например, полином $p(x_1,x_2)=(x_1^2+x_2^2-1)^2$ имеет в качестве критических точек целую окружность.

На которой он принимает всего одно значение. Сейчас сразу не соображу что число значений в критических подобных точках конечно. Надо подумать.

[Xaositect]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130215 писал(а):

Выведена формула для вычисления $q(v)$ через $p(x_1,\ldots,x_n)$.

Так берем систему $f = v, df = 0$ и исключаем переменные. Результанты тут будут выражаться через коэффициенты исходного многочлена.

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130223 писал(а):

Включая тот факт, что множество значений в критических точках конечно.

Это же очевидно из того же уравнения $f = v, df = 0$. Вот, например, на math.SE это разбирают как учебную задачу: https://math.stackexchange.com/question ... row-mathbb

[Ruslan_Sharipov]

Xaositect в сообщении #1130235 писал(а):

Так берем систему $f = v, df = 0$ и последовательно исключаем. Результанты тут будут выражаться через коэффициенты исходного многочлена.

Где гарантия, что процесс исключения завершится полиномом от одной переменной, а не приведёт к тождественному занулению на некотором шаге или, скажем, останется один полином от нескольких переменных?

[atlakatl]

Dan B-Yallay
Именно о первом - $p(x_1...x_n)$ . Ruslan_Sharipov объявил, что он нашёл прямую формулу от него к $q(v)$. А затем согласился с Вашим представлением на основе неизвестных ранее корней.

[Ruslan_Sharipov]

atlakatl в сообщении #1130245 писал(а):

Ruslan_Sharipov объявил, что он нашёл прямую формулу от него к $q(v)$.

Так действительно нашёл же. См. работу.

atlakatl в сообщении #1130245 писал(а):

А затем согласился с Вашим представлением на основе неизвестных ранее корней.

Опять словесное желе, размазываемое по просторам форума.

[Xaositect]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1130239 писал(а):

Где гарантия, что процесс исключения завершится полиномом от одной переменной, а не приведёт к тождественному занулению на некотором шаге или, скажем, останется один полином от нескольких переменных?

Результант существует из общей теории результантов, это многочлен от одной переменной $v$, ссылка, которую я дал, доказывает, что он нетривиален, существуют алгоритмы, которые гарантированно дадут нам этот результант.

[atlakatl]

Ruslan_Sharipov
Про второе утверждение поподробней.
Уточняю: Вы привели в работе прямую формулу от $p(x_1...x_n)$ к $q(v)$.
Dan B-Yallay же привёл формулу перехода от корней $p(x_1...x_n)$ к $q(v)$.
Понимаю Ваше раздражение, но оставьте Ваши оценки модераторам.

[Ruslan_Sharipov]

atlakatl в сообщении #1130249 писал(а):

Dan B-Yallay же привёл формулу перехода от корней $p(x_1,\ldots,x_n)$ к $q(v)$.

Не привёл и не мог привести. Многочлен от многих переменных $p(x_1,\ldots,x_n)$ зануляется на целых многообразиях, а не в отдельных точках.

-- Чт июн 09, 2016 12:57:42 --

Xaositect в сообщении #1130248 писал(а):

Результант существует из общей теории результантов, это многочлен от одной переменной $v$.

Нет. Вы ошибаетесь. Результант строится по паре многочленов (см. Wikipedia) относительно одной из переменных и является многочленом без этой переменной. В системе полиномиальных уравнений от многих переменных имеется много пар полиномов и каждая пара полиномов даёт один результант после выбора одной из переменных, относительно которой он считается.

[Xaositect]

Да, я ошибся. Я думал, тут можно использовать результант $n$ многочленов от $n$ переменных, но тут возникают проблемы с бесконечно удаленными точками. В любом случае, можно записать систему уравнений $f = v; df = 0$ и исключить переменные $x$ с помощью базисов Гребнера, получив многочлен $q(v)$. Он получится нетривиальный, потому что он должен дать как раз нужные решения.