2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 14:43 
Аватара пользователя


18/01/16
627
При каких значениях параметра $a$ система
$$
\begin{cases}
3|x|+2|y|=12\\

x^2+y^2=a
\end{cases}
$$
имеет наибольшее число решений?
Даже не знаю, с чего тут начать... Второе уравнение - уравнение ок-ти в центром $(0;0)$ и радиусом $\sqrt{a}$. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно построить график (или область) первого уравнения и затем начать оценивать взаимное расположение окружности и области, в зависимости от параметра. Но я даже не представляю, как выглядит график первого уравнения....
Заранее благодарен за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 14:59 
Аватара пользователя


07/01/15
1221
Для первого уравнения: рассмотрите отдельно случаи положительных/отрицательных $x, y$, то есть четвертуйте плоскость и рассмотрите эти четверти по отдельности. Нарисуйте график решения (что при этом получается?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 15:04 
Аватара пользователя


18/01/16
627
SomePupil
А по-другому никак? Это как-то слишком банально :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 15:21 
Аватара пользователя


07/01/15
1221
Ну, тогда в уме решите, что ли...

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 15:37 
Аватара пользователя


18/01/16
627
SomePupil
Ромб получается. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
stedent076 в сообщении #1130009 писал(а):
SomePupil
А по-другому никак? Это как-то слишком банально :wink:
Ну, можно заметить, что система не изменяется при заменах $x\to-x$ или $y\to-y$. Поэтому достаточно рассмотреть случай $x\geqslant 0$ и $y\geqslant 0$.

P.S. А почему школьная задача по математике попала в физический раздел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 18:16 
Аватара пользователя


07/01/15
1221

(Оффтоп)

Даа, с цитатами проблемы...

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.06.2016, 18:24 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 20:44 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Someone в сообщении #1130077 писал(а):
Поэтому достаточно рассмотреть случай $x\geqslant 0$ и $y\geqslant 0$
Я взял $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$ и $a$, и допустил, что $(x,y)$ - решение системы. Тогда из условия $D\geqslant 0$ получил $a\geqslant \frac{144}{13}$. Для $a>\frac{144}{13}$ решений два.

В Wolframalpha для $a>\frac{144}{13}$ показаны восемь решений, а для $a>>\frac{144}{13}$ система решений не имеет. Может надо рассмотреть все случаи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 20:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gefest_md в сообщении #1130140 писал(а):
Может надо рассмотреть все случаи?

Зачем все? Очевидно, что восемь решений исчезнут,когда окружность пройдёт через ближние вершины ромба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 21:10 


26/08/11
2097
gefest_md в сообщении #1130140 писал(а):
Тогда из условия $D\geqslant 0$

Кроме вещественные, корни должны быть и положителные. Мало того, для обеих корней другая переменная тоже должна быть положительной.
Тоесть, оба корня должны лежать в некотором интервале. От нуля до...Для этого один дискриминант недостаточен. И даже ненужен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение08.06.2016, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
gefest_md в сообщении #1130140 писал(а):
Я взял $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$ и $a$, и допустил, что $(x,y)$ - решение системы. Тогда из условия $D\geqslant 0$ получил $a\geqslant \frac{144}{13}$. Для $a>\frac{144}{13}$ решений два.

В Wolframalpha
для $a>\frac{144}{13}$ показаны восемь решений, а для $a>>\frac{144}{13}$ система решений не имеет. Может надо рассмотреть все случаи?
Смысл моего предложения (стандартного для подобных случаев) состоит в том, что, если Вы нашли решение $(x,y)$ с $x\geqslant 0$ и $y\geqslant 0$, то $(-x,y)$, $(x,-y)$ и $(-x,-y)$ — тоже решения (не обязательно все различные).

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение09.06.2016, 18:37 
Аватара пользователя


18/01/16
627
gefest_md
Извиняюсь за возможно глупый вопрос, но
gefest_md в сообщении #1130140 писал(а):
$D\geqslant 0$

это дискримминант какого уравнения? Вы складывали системы и рассматривали кв. уравнение относительно одной из переменных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение09.06.2016, 19:39 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
stedent076, выразил $y$ из первого уравнения, подставил его во второе, и получил кв. уравнение относительно $x$, при $x,y\geqslant 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очередная система с парметром
Сообщение09.06.2016, 19:53 
Аватара пользователя


18/01/16
627
gefest_md
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group