Уравнение в натуральных числах

[Ktina]

Решить в натуральных числах уравнение:

$$m!+n!=k^5-3$$

[NSKuber]

Например, так: правая часть по модулю $11$ равна $7,8$ или $9$. Факториалы дают остатки $0,1,2,5,6,10$ при делении на $11$. Сразу видно, что если в левой части хоть один факториал больше десяти, то ничего не выходит. Перебираем $13$ вариантов пар факториалов, меньших $11$, таких, что их сумма равна $7,8$ или $9$ по модулю $11$, и подходит только одна пара - $m=n=5$. А $k=3$.

[Ktina]

NSKuber
Тоже можно, но можно и чуть проще.
По модулю 9 видно, что оба факториала не могут быть одновременно больше $5!$.
Таким образом, задача распадается на пять уравнений:

$$n!+4=k^5$$

$$n!+5=k^5$$

$$n!+9=k^5$$

$$n!+27=k^5$$

$$n!+123=k^5$$

А оттуда сразу видно, что если $n>9$, то решений нет.
Перебрав оставшиеся варианты, находим существующие решения.