Обобщённые функции

[Andrey_SR]

Добрый вечер. Пишу курсовую работу по этой теме и не могу решить задачи
Например, доказать, что функционал, действующий по формуле

$(\frac{1}{x},\varphi)=V.p.\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\varphi(x)}{x} dx$ -- сингулярная обобщённая функция
Надо доказать, что он не представим в виде $(f,\varphi)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\varphi(x)dx$, но как сделать это не понимаю

[RIP]

Предположите противное и докажите, что в этом случае $f(x)=\frac1x$ п.в.

[Август]

а что есть $ V.p. $ ? ...

[Andrey_SR]

Можно поподробнее, то действительно не совсем понимаю, как это сделать?

[Gafield]

Пусть предсталяется. Поскольку $\phi\in \cal D(\mathbb R) \Rightarrow x\phi \in \cal D(\mathbb R) $, то $(f,x\phi)=(xf,\phi)$ для всех $\phi\in \cal D(\mathbb R)$. Следовательно, $xf=1$ п.в., $f=1/x$ п.в. - не явл. лок. интегрируемой.

[Andrey_SR]

П.в.- что обозначает? равенство $(f,x\varphi)=(xf,\varphi)$ на основе чего возможно, ведь x- не бесконечно дифференцируема или нет?

[Echo-Off]

Andrey_SR писал(а):

П.в.- что обозначает?

Почти всюду (т.е. за исключением множества меры нуль.

Andrey_SR писал(а):

равенство $(f,x\varphi)=(xf,\varphi)$ на основе чего возможно

По определению умножения обобщённой функции на бесконечно дифференцируемую

Andrey_SR писал(а):

ведь x- не бесконечно дифференцируема или нет?

O RLY?

[Someone]

Август писал(а):

а что есть $ V.p. $ ? ...

Главное значение в смысле Коши. В данном случае

$$V.P.\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\varphi(x)}xdx=\lim\limits_{a\to 0^+}\left(\int\limits_{-1}^{-a}\frac{\varphi(x)}xdx+\int\limits_a^1\frac{\varphi(x)}xdx\right)+\lim\limits_{b\to+\infty}\left(\int\limits_{-b}^{-1}\frac{\varphi(x)}xdx+\int\limits_1^b\frac{\varphi(x)}xdx\right)\text{.}$$

Правда, в данном случае $\varphi(x)$ - бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем (то есть, равная 0 вне некоторого конечного промежутка), поэтому можно несколько упростить:

$$V.P.\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\varphi(x)}xdx=\lim\limits_{a\to 0^+}\left(\int\limits_{-\infty}^{-a}\frac{\varphi(x)}xdx+\int\limits_a^{+\infty}\frac{\varphi(x)}xdx\right)\text{.}$$

[Andrey_SR]

Мне пришла следующая идея решения
Изначально имеем $(\frac{1}{x},\varphi (x))=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)dx$
Далее $\lim\limits_{a \to 0}(\int\limits_{-\infty}^{-a}f(x)\varphi(x)-\int\limits_{-\infty}^{-a}\frac{1}{x}\varphi(x)dx+\int\limits_{+a}^{+\infty}f(x)\varphi(x)dx-\int\limits_{-\infty}^{-a}\frac{1}{x}\varphi(x)dx)=0$
$\lim\limits_{a\to 0}\int\limits_{-\infty}^{-a}(f(x)-1/x)\varphi(x)dx+\lim\limits_{a\to 0}\int\limits_{a}^{+\infty}(f(x)-1/x)\varphi(x)dx$=0
Заключаем ,что f(x)=1/x x отличен от 0.
Верно ли решение?