Достижение равенства в четырёх точках

[arqady]

Пусть $a$, $b$ и $c$ неотрицательные числа, одновременно неравные нулю. Докажите, что:

$$\sqrt{1+\frac{21a}{a+3b+3c}}+\sqrt{1+\frac{21b}{b+3a+3c}}+\sqrt{1+\frac{21c}{c+3a+3b}}\geq6$$

[waxtep]

arqady в сообщении #470155 писал(а):

Пусть $a$, $b$ и $c$ неотрицательные числа, одновременно неравные нулю. Докажите, что:

$$\sqrt{1+\frac{21a}{a+3b+3c}}+\sqrt{1+\frac{21b}{b+3a+3c}}+\sqrt{1+\frac{21c}{c+3a+3b}}\geq6$$

Прошу прощения за некропостинг, пробую учиться решать неравенства по-человечески. Это неравенство меня зацепило Решение:

1. в силу однородности, можем положить $a+b+c=1$. Тогда, $f(a)=\sqrt{\frac{3+19a}{3-2a}}$ вогнута при $a\le a_0=\frac{39}{152}$ и выпукла при $a\ge a_0$ (вторая производная равна $(152a-39)$ умножить на что-то положительное). $a_0$ чуть больше $\frac 1 4$.

2. рассмотрим три случая:
а. все три переменных на выпуклом участке, тогда минимум достигается при их равенстве, $a=b=c=\frac 1 3$; здесь достигается равенство.
б. два корня на выпуклом участке и один на вогнутом; здесь в минимуме два корня на выпуклом участке так же должны совпадать; в граничной точке $a=b=\frac 1 2, c=0$ так же достигается равенство (для любой перестановки $a,b,c$). Общий случай оставим на десерт
в. один корень на выпуклом участке и два на вогнутом; поскольку у $f(a)$ одна точка перегиба, $f'(a)$ принимает каждое значение не более двух раз; это означает, что в критической точке два корня должны совпадать (так как из метода неопределенных множителей следует, что в критической точке $f'(a)=f'(b)=f'(c)$; не знаю, как это обосновать более изящно). Следовательно, в данном случае, два корня на вогнутом участке должны совпадать. Но, это точно не минимум, так как "раздвинув" их мы получим меньшее значение. Следовательно, этот случай можно не проверять.

3. рассмотрим общий случай (2б) - два совпадающих корня на выпуклом участке. Пусть $0\le a\le a_0$, $b=c=\frac {1-a}2$, требуется доказать, что

$$\sqrt{\frac{3+19a}{3-2a}}+\sqrt{\frac{50-38a}{2+a}}\ge 6 \Leftrightarrow \sqrt {1+x}+\sqrt{25-y}\ge 6$$

где $x=\frac {21a}{3-2a}, y=\frac{63a}{2+a}$. Что эквивалентно $(x+y)^2\le 24(5x-y)$ и, после всех упрощений,

$$117a^3-222a^2+109a\le 16$$

Немного "подкрутим" коэффициенты, чтобы избежать совсем безобразных вычислений: $$111a^3-222a^2+111a\le 16$, легко видеть, что при $0\le a\le a_0$ это усиление неравенства. Левая часть монотонно растет, значит, достаточно проверить неравенство при $a=a_0$, оно выполняется строго, что завершает доказательство.

Итого, равенство в точках $(a/3,a/3,a/3), (0,a/2,a/2), (a/2,0,a/2), (a/2,a/2,0), a\neq 0$.