Диофантово уравнение

[qx87]

Доказать, что в натуральных числах уравнение $n^2 - 1 = k^3$ имеет только одно решение: $n = 3, k = 2$.

Мне удалось доказать, что $n$ должно быть нечётным. И тогда $n = 2m + 1$.

$n^2 - 1 = (n - 1) (n + 1) = 2m(2m + 2) = 4m(m + 1) = k^3$.

Отсюда получаем, что $k$ должно быть чётным: $k = 2x$.

Получается уравнение $m(m + 1) = 2x^3$.

Его можно свести к совокупности уравнений $2a^3 \pm 1 = b^3$ или представить в виде $C_{m+1}^2 = x^3$, но далее мои попытки не потерпели успеха.

Что можно сделать дальше?

[venco]

Проще надо - разложите левую часть на множители, и посмотрите на их возможные общие делители.

[qx87]

Вот ведь так и делал в принципе, когда доказывал нечётность n. Но с этой точки зрения не посмотрел.

Всё ясно, спасибо большое!

[DeBill]

venco в сообщении #1128346 писал(а):

и посмотрите на их возможные общие делители.

Что-то я не врубился.. Ну, получим мы уравнение

qx87 в сообщении #1128341 писал(а):

$2a^3 \pm 1 = b^3$

И что дальше? Бесконечный спуск устраивать??

[venco]

Да, не получается...

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[sergei1961]

Это не знаменитая задача Каталана?
Квант, 2007, №4.
Задача решена Эйлером, частный случай проблемы Каталана.

[scwec]

В. Серпинский пишет, что автором элементарного, но очень длинного доказательства единственности решения в натуральных числах
уравнения $x^2-y^3=1$ является А. Вакулич (где-то 50-е годы прошлого века).

[qx87]

venco в сообщении #1128346 писал(а):

Проще надо - разложите левую часть на множители, и посмотрите на их возможные общие делители.

Вот уже в четвёртый раз я "доказываю" единственность решения и убеждаюсь в неверности своего доказательства :)

Вот смотрите:

$(n - 1) (n + 1) = k^3$
$GCD(n+1, n-1) = GCD(2, n-1) \leqslant 2$.

Тогда если $GCD(n+1, n-1) = 1$, то $n - 1 = x^3; n + 1 = y^3$, но $y^3 - x^3 = 2$, а разность двух положительных кубов даже соседних чисел не может быть равна двум. (Для доказательства этого можно просто выписать таблицу нескольких первых натуральных кубов, не обнаружить там соседей, отличающихся на 2, и указать, что далее разность между соседями будет продолжать расти, а между несоседями -- тем более.)

Поэтому $GCD(n+1, n-1) = 2$. Именно так я и доказывал нечётность $n$.

Но ведь из того, что число 2 -- единственный общий множитель, не следует, что $k = 2 \quad$!
Отсюда лишь следует, что $n - 1 = 2x^3; n+1 = 4y^3$ или наоборот $n - 1 = 4x^3; n+1 = 2y^3$.

sergei1961 в сообщении #1128386 писал(а):

Это не знаменитая задача Каталана?
Квант, 2007, №4.
Задача решена Эйлером, частный случай проблемы Каталана.

Получается, что да, гипотеза Каталана -- это обобщение моей задачи. Но у меня она возникла как разбор одного частного случая при решении задачи на сайте Project Euler. Спасибо большое за ссылку, но читать пока что не буду, хочется уже попробовать добить её. Кстати, это уже не гипотеза, на вики пишут, что её доказали.

DeBill в сообщении #1128358 писал(а):

Что-то я не врубился.. Ну, получим мы уравнение

qx87 в сообщении #1128341 писал(а):

$2a^3 \pm 1 = b^3$

И что дальше? Бесконечный спуск устраивать??

Тут одно решение заведомо существует. Разве можно при таком раскладе применить бесконечный спуск? Он же вроде доказывает отсутствие решений.

[DeBill]

qx87 в сообщении #1129134 писал(а):

Разве можно при таком раскладе применить бесконечный спуск?

Ну, в принципе, иногда - можно: если спуск приведет нас не туда, где это решение имеет место быть.
Однако попытка устроить спуск была не шибко успешной ($b $ - нечетно. Подставляем. Разлагаем. Слева - куб, справа - пара множителей, у которых НОД равен 1 или 3 - это похоже на первый шаг. Используем это - как у Вас - и сделаем еще шажок. Но.. дров станет больше, и я туда уже не пошел...)

[scwec]

По нынешним временам доказательство единственности решения $(2,3)$ можно уложить в две строчки.
Ранг эллиптической кривой $y^2=x^3+1$ равен нулю, сл-но на кривой нет рациональных точек бесконечного порядка,
рациональные точки кручения на этой кривой (6 шт.) $(x,y)=(2,\pm{3}),(0,\pm{1}),(-1,0),\infty$. Подходит только $(x,y)=(2,3)$.

Отмечу еще интересное единомыслие.
Из статьи Keith Conrad "Example of Mordell's equation" -
"To study $a^3-2b^3=1$ introduces a whole new bag of complications, so we will simply stop and leave this matter unsettled".
Точно по этому же поводу DeBill - "Но.. дров станет больше, и я туда уже не пошел..."