Кролики не Фибоначчи

[Sirion]

Вася завёл себе кролика особой породы. Каждую весну такой кролик размножаются делением, превращаясь в пару кроликов. Осенью каждый кролик с вероятностью D задумывается о том, что млекопитающие не размножаются делением, и, осознав невозможность существования себя, исчезает. Соответственно, с вероятностью 1 - D такая мысль его не посещает, и он доживает до следующей весны.

Какова вероятность того, что в один не очень прекрасный год популяция васиных кроликов окончательно вымрет? Васю считаем бессмертным, кормовую базу бесконечной - в общем, физические ограничения полностью игнорируем.

[DeBill]

Схема гибели и размножения...
Призводящая функция для числа потомков (за год) равна
$\varphi (t) = D^2 +2D(1-D)t + (1-D)^2t^2$.
Среднее число потомков равно $2(1-D)$. При $D\geqslant \frac{1}{2}$ - Вымрут.Иначе:
Корни уравнения $\varphi (t) = t$: $t=1$, и , по теореме Виета, $t= (\frac{D}{1-D})^2$. это и есть ответ...

[Sirion]

DeBill в сообщении #1127890 писал(а):

Схема гибели и размножения...
Призводящая функция для числа потомков (за год) равна
$\varphi (t) = D^2 +2D(1-D)t + (1-D)^2t^2$.
Среднее число потомков равно $2(1-D)$. При $D\geqslant \frac{1}{2}$ - Вымрут.Иначе:
Корни уравнения $\varphi (t) = t$: $t=1$, и , по теореме Виета, $t= (\frac{D}{1-D})^2$. это и есть ответ...

А почему во втором случае не подходит корень 1?

[arseniiv]

(Написано до)

Представим состояние системы формальным рядом $A$ по степеням $z$, при этом $[z^n]A$ — вероятность того, что кроликов $n$. При делении $A(z)$ превращается в $A(z^2)$, при философствовании $z^n$ превращается в $\sum_{i=0}^n \binom ni q^{n-i}p^iz^i = (pz + q)^n$, где $p=1-q=1-D$, и так для любого $n$, так что $A(z)\mapsto A(pz + q)$.

Пускай $TA(z) = A(pz^2 + q)$ — годовое преобразование; $A_0 = z$ — исходный кролик. Вероятность того, что популяция вымерла за $\leqslant n$ лет — $[1]T^nA_0 = [1](z\mapsto pz^2 + q)^{\circ n}$, а нас интересует предел этой штуки при $n\to\infty$. ($f^{\circ n}$ — $n$-кратная композиция $f\circ\ldots\circ f$.)

Формализовали — теперь можно и подумать. P. S. Ничего не придумалось.

[slavav]

Пусть $Y$ вероятность смерти популяции. Тогда $Y = D + (1 - D)Y^2$. Формула выведена в предположении, что кролик заведён летом.
Если $D > \frac{1}{2}$ то $Y = 1$
иначе $Y = \frac{D}{1-D}$.

Если кролик заведён зимой, то ответ надо возвести в квадрат.

[DeBill]

Sirion в сообщении #1127898 писал(а):

А почему во втором случае не подходит корень 1?

А - по опчей теории: коль среднее число потомков больше 1, то вероятность вырождения - меньший корень ур-я.

(Оффтоп)

Это можно получить ручками: в точности так, как написал arseniiv: рисуем график параболы, изображаем итерационный процесс, и видим сходимость итераций (там - монотонная последовательность) к неподвижной точке.