Условия Коши-Римана

[Danmir]

Brukvalub
Можно ли тогда просто утверждать, что функция не дифференцируема в точке $(0,0)$ ?

[Brukvalub]

Я теперь и сам запутался! Лучше уж вы мне на этот вопрос ответьте, а то я не усну...

[Danmir]

Brukvalub
Тогда можно зайти с такой стороны: $\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}} \geq \frac{|xy|}{x^2+y^2}=\frac{|x||y|}{x^2+y^2}\geq\frac{1}{x^2+y^2}$ при $\lim{x\to 0,y\to 0}$ получаем стремление к бесконечности, из этого заключаем, что $f$ не дифференцируема в $(0,0)$

[Brukvalub]

А предел-то есть или нет? Да и вот это неравенство:

Danmir в сообщении #1126068 писал(а):

$...\frac{|x||y|}{x^2+y^2}\geq\frac{1}{x^2+y^2}$ при $\lim{x\to 0,y\to 0}$

не внушает доверия. Объясните его подробнее.

[Lia]

Danmir Вас просят ответить на этот вопрос, а не на какой-то еще:

Brukvalub в сообщении #1126059 писал(а):

И, все-таки, есть ли

Danmir в сообщении #1126039 писал(а):

$ \lim_{y\to 0 ,x\to 0}u(x,y)$ ?

Ответьте уже, пожалуйста, а то мне тоже сегодня не уснуть.

[Danmir]

Brukvalub
Lia
В данном случае $\lim{x\to 0,y\to 0}\sqrt{|xy|}$ я бы сказал, что получается $0$
Тогда все равно пределы с разных направлений не совпадают и, следовательно, $f$ не дифференцируема в точке $(0,0)$

[Brukvalub]

Danmir в сообщении #1126075 писал(а):

В данном случае $\lim{x\to 0,y\to 0}\sqrt{|xy|}$ я бы сказал, что получается $0$
Тогда все равно пределы с разных направлений не совпадают и, следовательно, $f$ не дифференцируема в точке $(0,0)$

Признаю свое полное бессилие понять сказанное и тихо удаляюсь в глушь, в Саратов...

[Danmir]

Brukvalub
А какой именно переход не верен ?

[Dan B-Yallay]

Danmir
Если не хотите вогнать одного ЗУ и одного модератора в депрессию, посчитайте отдельно пределы и отдельно производные по разным направлениям и разберитесь уже: что есть и чего нет.

[NSKuber]

Я бы всё же порекомендовал идти напрямую - выписать определение производной функции $f(z)$ в точке $(0,0)$ (комплексной производной!) и показать, что указанный предел не существует. Тут самый первый совет Brukvalub и поможет, мгновенно.

[Mikhail_K]

Danmir в сообщении #1126079 писал(а):

А какой именно переход не верен ?

Попытаюсь внести ясность, а то боюсь что Вы совсем запутались.
Не то что бы Вы что-то сказали неверно, но Вы написали очень невнятно.

Danmir в сообщении #1126075 писал(а):

В данном случае $\lim{x\to 0,y\to 0}\sqrt{|xy|}$ я бы сказал, что получается $0$
Тогда все равно пределы с разных направлений не совпадают и, следовательно, $f$ не дифференцируема в точке $(0,0)$

Слово "тогда" означает логическую связь, которой на самом деле между первым и вторым предложением нет.
Вы понимаете, что это два совсем разных вопроса - Ваш исходный, про производную функции $f(z)$, и вопрос о том, чему равен предел $\lim\limits_{x\to 0,y\to 0}u(x,y)$. Второй вопрос никакого отношения к Вашей исходной задаче не имеет, о чём Вам попытались намекнуть:

Brukvalub в сообщении #1126044 писал(а):

Разве выше мы обсуждали предел функции $u$ ?

Но раз уж Вы заговорили про этот предел, то Вас попросили его вычислить. Вы это сделали. А теперь Вы пишете

Danmir в сообщении #1126075 писал(а):

В данном случае $\lim{x\to 0,y\to 0}\sqrt{|xy|}$ я бы сказал, что получается $0$
Тогда все равно пределы с разных направлений не совпадают и, следовательно, $f$ не дифференцируема в точке $(0,0)$

как будто из ответа на вопрос про предел следует ("тогда") отсутствие дифференцируемости.

Короче. Уберите из последней цитаты слово "тогда" и уточните во втором предложении, какие именно пределы с разных направлений не существуют.