Игра "Квадраты"

[Edward_Tur]

Имеется шахматная доска $2 \times n$. Два игроки поочередно вырезают и забирают из нее квадраты $1 \times 1$ и $2 \times 2$. Распилы можно делать вдоль границ клеток шахматной доски. Выиграет тот, кто заберет последний квадрат. Верно ли, что первый игрок может выиграть при всех $n \ne 1\left( {\bmod 12} \right)$?

[PAV]

Переношу из дискуссионных тем в олимпиадный раздел

[TOTAL]

Edward_Tur писал(а):

Имеется шахматная доска

Edward_Tur, расскажите, пожалуста, решение или дайте подсказку.

[Edward_Tur]

Решения я не знаю, только проверил ещё на маломощных ЭВМ для $n<63$. Может нужно перенести в другой раздел?

[Macavity]

А вот в одномерном случае (игроки, из лежащей полоски длины N, берут кусочки длины 1 и 2, начала которых находятся на расстоянии равном целому числу < N от левого конца) имеется ли решение?
И в более общем одномерном - игроки берут полоски длины 1,2,..., k?

[TOTAL]

Macavity писал(а):

А вот в одномерном случае (игроки, из лежащей полоски длины N, берут кусочки длины 1 и 2, начала которых находятся на расстоянии равном целому числу < N от левого конца) имеется ли решение?
И в более общем одномерном - игроки берут полоски длины 1,2,..., k?

Здесь первым ходом делю все на две одинаковые части, затем повторяю ходы и выигрываю.

[Руст]

TOTAL писал(а):

Здесь первым ходом делю все на две одинаковые части, затем повторяю ходы и выигрываю.

Это возможно только если n нечётное больше 3. Когда n чётное больше 4 к этой стратегии можно свести начав выем одного квадрата 1*1 с середины.

[TOTAL]

Руст писал(а):

TOTAL писал(а):

Здесь первым ходом делю все на две одинаковые части, затем повторяю ходы и выигрываю.

Это возможно только если n нечётное больше 3. Когда n чётное больше 4 к этой стратегии можно свести начав выем одного квадрата 1*1 с середины.

При четном вынимаю из середины 2, при нечетном вынимаю из средины 1.

[незваный гость]

Edward_Tur писал(а):

Решения я не знаю, только проверил ещё на маломощных ЭВМ для $n<63$. Может нужно перенести в другой раздел?

Любопытный момент. Я не знаю, какой раздел подходит для открытых (в смысле — не доказать, а решить) элементарных (но не обязательно простых) задач.

[ICh[USU]]

С помощью функции Гранди я на компьютере проверил гипотезу при $n \leqslant 10000$. Видимо, функция Гранди для этой игры - периодическая, но я не знаю, как это доказать. Период выглядит так: 0,2,2,1,4,3,3,1,4,2,6,5.