Доказать, что формула определяет линейное преобразование

[-Sofiko-]

Доказать что формула $\varphi(X) = A^TXA$ определяет линейное преобразование пространства кососимметрических матриц $(X^T = -X)$
Функция называется линейным преобразованием, если для неё выполнены свойства линейности.
1) $\varphi(x+y)=\varphi(x) + \varphi(y)$
2) $\varphi(\lambda x)=\lambda \varphi(x)$

1) Доказывается с помощью свойства дистрибутивности умножения матриц
$\varphi(X_1+X_2)=A^T(X_1+X_2)A=A^TX_1A+A^TX_2A$
2) Доказывается с помощью свойства ассоциативности по умножению матриц
$\varphi(\lambdaX)=A^T( \lambda X)A = \lambda (A^TXA)$

Вопрос, мне надо как то использовать то, что матрицы кососимметрические, или все и так хорошо?

[Otta]

Вы линейность доказали. Вы не доказали, что это преобразование пространства кососиметрических матриц. То есть, что результат преобразования лежит в самом пространстве. Как только - так будет все.

[-Sofiko-]

Otta в сообщении #1125259 писал(а):

Вы линейность доказали. Вы не доказали, что это преобразование пространства кососиметрических матриц. То есть, что результат преобразования лежит в самом пространстве. Как только - так будет все.

Что надо сделать чтобы доказать, что результат лежит в самом пространстве?

[Otta]

Странные Вы вопросы задаете. А что там вообще лежит?

[-Sofiko-]

Otta в сообщении #1125259 писал(а):

Вы линейность доказали. Вы не доказали, что это преобразование пространства кососиметрических матриц. То есть, что результат преобразования лежит в самом пространстве. Как только - так будет все.

Доказать что $[\varphi (X)]^T = -\varphi (X)$?

[Otta]

Естественно.

[-Sofiko-]

Otta в сообщении #1125293 писал(а):

Естественно.

$[\varphi (X)]^T = [A^TXA]^T$ Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке. $ = -A^TXA$