Теоретико-множественное соотношение

[g______d]

timber в сообщении #1124027 писал(а):

И что из этих трех записей выбрать, в общем никак не пойму?

Между первой и третьей вообще никакой разницы.

Вторая неправильная в том смысле, что запись $\forall (a,b)$ некорректна; кванторы ставятся только перед переменными, а не перед функциями от них. Вы же никогда не пишете $\forall f(x) ...$ или $\forall (x^2+y^2)...$

В любом случае, первая глава Зорича — это не то место, где нужно застревать. Она там нужна только чтобы зафиксировать обозначения и договориться об уровне строгости доказательств и не предназначена для изучения формального языка впервые.

Если у вас проблемы со множествами на таком уровне, просмотрите сначала что-нибудь более элементарное, например, Верещагин-Шень.

Инача вы застрянете в этой главе надолго и так и не доберетесь до анализа.

[gefest_md]

timber в сообщении #1124027 писал(а):

Но в качестве некоторого элемента $x$ декартова произведения мы рассматриваем упорядоченную пару $(a, b)$, тогда, наверное, можно записать так:
$(A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow \forall (a,b) ((a,b) \in (A \times B) \Rightarrow (a,b) \in (X \times Y))$.

Вы убедитесь, что эта запись имеет какое-нибудь интересное продолжение. Я понял Вы решаете задачу 6(б). Сомневаюсь, что Вы так сможете продолжить цепь?

timber в сообщении #1123451 писал(а):

$\forall(x,y) ((x \in \varnothing) \wedge (y \in \varnothing))$

Как Вы эту запись скажете обычными словами? Заметьте, мои 4-ые варианты максимально близки.

[timber]

gefest_md в сообщении #1124037 писал(а):

Я понял Вы решаете задачу 6(б). Сомневаюсь, что Вы так сможете продолжить цепь?

Да, эту задачу.

gefest_md в сообщении #1124037 писал(а):

timber в сообщении #1123451 писал(а):

$\forall(x,y) ((x \in \varnothing) \wedge (y \in \varnothing))$

Как Вы эту запись скажете обычными словами? Заметьте, мои 4-ые варианты максимально близки.

Сказать словами особо не получается. То есть получается, но бред какой-то получается :)
Вы правы.

[timber]

Вот что получается:
$\begin{array}{l} (A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall m (m \in (A \times B) \Rightarrow m \in (X \times Y)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall m ((m \notin A \wedge m \notin B) \vee (m \in X \wedge m \in Y)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall m (((m \notin A \wedge m \notin B) \vee m \in X) \wedge ((m \notin A \wedge m \notin B) \vee m \in Y)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall m ((m \notin A \vee m \in X) \wedge (m \notin B \vee m \in X) \wedge (m \notin A \vee m \in Y) \wedge (m \notin B \vee m \in Y)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall m ((m \in A \Rightarrow m \in X) \wedge (m \in B \Rightarrow m \in X) \wedge (m \in A \Rightarrow m \in Y) \wedge (m \in B \Rightarrow m \in Y)) \end{array}$

Ну а должно получиться:
$\forall m ((m \in A \Rightarrow m \in X) \wedge (m \in B \Rightarrow m \in Y))$.

Что-то я перемудрил. Понять не могу. Может быть строка 3 сверху?

[g______d]

timber в сообщении #1124072 писал(а):

Может быть строка 3 сверху?

Да, есть некоторая проблема с получением этой строчки.

Вообще, у вас во второй строчке $m$ -- это пара, а в "должно получиться" уже элемент (или не элемент) одного из множителей. Т. е. в процессе должна произойти какая-то замена переменной или переход от пары к отдельным компонентам.

Воспользуйтесь почти правильной формулой

timber в сообщении #1124027 писал(а):

$(A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow \forall (a,b) ((a,b) \in (A \times B) \Rightarrow (a,b) \in (X \times Y))$.

заменив в ней $\forall (a,b)$ на $\forall a\forall b$.

[timber]

Ну в общем бьюсь с этой задачей и никак не получается избавиться от лишних элементов в цепочке.
Может быть так.
Считая, что если мы знаем, что $\forall a \forall b (a \in A \wedge b \in B) = True$, тогда будем полагать $a \notin A = False = 0, b \notin B = False = 0$.

Тогда доказательство примет вид:
$\begin{array}{l} (A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall a \forall b ((a \in A \wedge b \in B) \Rightarrow (a \in X \wedge b \in Y)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall a \forall b (a \notin A \vee b \notin B \vee (a \in X \wedge b \in Y)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall a \forall b (((a \notin A \vee a \in X) \wedge (a \notin A \vee b \in Y)) \vee b \notin B) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall a \forall b (((a \notin A \vee a \in X) \vee b \notin B) \wedge ((b \notin B \vee b \in Y) \vee a \notin A)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall a \forall b (((a \in A \Rightarrow a \in X) \vee 0) \wedge ((b \in B \Rightarrow b \in Y) \vee 0)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, (A \subset X) \wedge (B \subset Y) \end{array}$

Что думаете?

[gefest_md]

timber в сообщении #1124393 писал(а):

Считая, что если мы знаем, что $\forall a \forall b (a \in A \wedge b \in B) = True$

Это как раз ложно, но если немножко изменить, то потом пригодится.

А пока уберите последние два звена (строки), и продолжите цепь, пронося кванторы через скобки. Иногда квантор общности можно проносить и через дизъюнкцию (посмотрите равносильности у Игошина).

[arseniiv]

timber
Первая эквивалентность какая-то широкоперепрыгнутая. Если уж захотеть всё расписывать подробно, надо начинать так:

$$\begin{array}{l} \hphantom{\Leftrightarrow} A\times B\subset X\times Y \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \forall p(p\in A\times B\Rightarrow p\in X\times Y) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \forall p(\exists a\exists b(a\in A\wedge b\in B\wedge p=(a,b))\Rightarrow\exists x\exists y(x\in X\wedge y\in Y\wedge p=(x,y))) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \forall a\forall b(a\in A\wedge b\in B\Rightarrow a\in X\wedge b\in Y) \end{array}$$

Кстати, количество скобок у вас можно было бы уменьшить, если пользоваться довольно распространённым приоритетом ${\neg}\;{\wedge}\;{\vee}\;{\Rightarrow}\;{\Leftrightarrow}$ (операции левее связывают сильнее).

[timber]

gefest_md в сообщении #1124406 писал(а):

А пока уберите последние два звена (строки), и продолжите цепь, пронося кванторы через скобки. Иногда квантор общности можно проносить и через дизъюнкцию (посмотрите равносильности у Игошина).

Спасибо за подсказку.
Но мне не совсем понятно, а что это существенно изменит?
На первый взгляд, операции и элементы останутся такие же, только добавятся кванторы перед каждым предикатом.

[gefest_md]

timber в сообщении #1124429 писал(а):

только добавятся кванторы перед каждым предикатом

Запись $A\subset X$ в последней строке должна заменять равносильную запись $\forall a(a\in A\to a\in X)$, которой в предпоследней строке нет. Сделайте так, чтобы она появилась. Помните, что символы сокращают обычные слова (у Зорича).

[iifat]

А что, $\subset$ не означает непременно строгого включения? Не то чтоб это сильно влияло на ход рассуждений, но всё ж...

[timber]

$\begin{array}{l} (A \times B) \subset (X \times Y) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall a \forall b ((a \in A \wedge b \in B) \Rightarrow (a \in X \wedge b \in Y)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall a \forall b (a \notin A \vee b \notin B \vee (a \in X \wedge b \in Y)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, \forall a \forall b (((a \notin A \vee a \in X) \wedge (a \notin A \vee b \in Y)) \vee b \notin B) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, (\forall a (a \notin A \vee a \in X) \vee \forall b (b \notin B)) \wedge (\forall b (b \notin B \vee b \in Y) \vee \forall a (a \notin A)) \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, ... \Leftrightarrow\, \\ \Leftrightarrow\, (A \subset X) \wedge (B \subset Y) \end{array}$

Не понятно, как избавиться от $\forall a (a \notin A)$ и $\forall b (b \notin B)$?
Они кажутся лишними.

[gefest_md]

iifat в сообщении #1124464 писал(а):

$\subset$ не означает непременно строгого включения?

Зорич.

Цитата:

Если $A\subset B$ и $A\not= B$, то будем говорить, что включение строгое

timber в сообщении #1124479 писал(а):

Не понятно, как избавиться от $\forall a (a \notin A)$ и $\forall b (b \notin B)$?
Они кажутся лишними.

(Пропустили строку в цепи) Посмотрите в учебнике условие задачи и исправьте его.

[g______d]

timber в сообщении #1124479 писал(а):

Они кажутся лишними.

Не лишние, потому что без них не правда.

Например, $A=X=\varnothing$ влечет $(A\times B)\subset (X\times Y)$ без каких-либо условий на $B$ и $Y$.

-- Чт, 19 май 2016 01:15:02 --

Ну вот, кстати, я сейчас открыл 7 издание, и там задачка: если $X\times Y\neq \varnothing$, то $(A\times B)\subset (X\times Y)$ равносильно $(A\subset X)\wedge (B\subset Y)$, что, очевидно, неверно при $A=\varnothing$, $B\not\subset Y$. Ну или я дико торможу.

[timber]

g______d в сообщении #1124484 писал(а):

Ну вот, кстати, я сейчас открыл 7 издание, и там задачка: если $X\times Y\neq \varnothing$, то $(A\times B)\subset (X\times Y)$ равносильно $(A\subset X)\wedge (B\subset Y)$, что, очевидно, неверно при $A=\varnothing$, $B\not\subset Y$. Ну или я дико торможу.

Ну вот Вы как-то по особенному воспринимаете само утверждение. Почему?
Для меня оно выглядит так: отношение $(A\times B)\subset (X\times Y)$ истинно только в том случае и никогда больше, когда истинна конъюнкция $(A\subset X)\wedge (B\subset Y)$.
А конъюнкция когда истинна? Когда истинны оба высказывания.
Очевидно, что если $B\not\subset Y$, то условие нарушается (высказывание $B \subset Y$ становится ложным) и неверным становится само утверждение.
Оно же не должно быть всегда верным (по утверждению), а только в одном единственном случае.
Все вроде бы логично.