Радиус круга, если известна длина дуги и расстояние до хорды

[Smogg]

Мне нужно расставить буквы по дуге внутри ленты и навесить на концах ленты завитушки) Но на какой угол завитушки поворачивать - непонятно. По ощущениям, задача решается.
Или строго:

Известна длина дуги AB, известно расстояние NM, известно, что AB - это дуга круга. Как найти угол а?

[Dmitriy40]

Надо знать ещё и радиус.
Длина дуги AN выражается через радиус и угол. С другой стороны, через радиус и косинус угла выражается OM, которая в сумме с NM равна снова радиусу.
В итоге получается связь угла, его косинуса, длины дуги и радиуса. При известных дуге и радиусе можно решить уравнение с углом и его косинусом и найти угол.

[svv]

Dmitriy40, я выкрутился!

Пусть $\ell$ — длина дуги $AB$, $r$ — радиус.

$\begin{array}{l}\ell=r\alpha\\[0.7ex] OM=r\cos\frac{\alpha}2\\[0.7ex] NM=ON-OM=r(1-\cos\frac{\alpha}2)\\[0.7ex] \dfrac{NM}{\ell}=\dfrac {1-\cos\frac{\alpha}2}{\alpha}\end{array}$
Это нелинейное уравнение для определения угла: слева известные величины, правая часть зависит только от угла.

[Smogg]

Ага, если б был известен радиус...

svv , спасибо! Все очень коротко и наглядно.
Подумал, и тоже заметил косинус, но пришел к каким-то квадратам. И еще долго бы себя мучил в поисках, как бы свернуть все дело в одну строчку попроще, прежде чем связаться с численными решениями)

[Dmitriy40]

svv
Класс!
Я подозревал что радиус где-то сократится, но т.к. не стал выписывать всё полностью, то не получил последнее Ваше выражение уже без радиуса, все предыдущие то вывел.

[amon]

Для не очень больших углов (градусов до 45-90) правую часть можно спокойно заменить на $\frac{\alpha}{8}$. Тогда и численных расчётов не надо.

[redicka]

Это ж просто.
$\alpha$=4$\arctg(MN/MB)$

[Smogg]

amon в сообщении #1124268 писал(а):

Для не очень больших углов (градусов до 45-90) правую часть можно спокойно заменить на $\frac{\alpha}{8}$. Тогда и численных расчётов не надо.

А можно поточнее, насколько получится различие? И почему угол в 45-90 не очень большой...

redicka, у вас ошибка - хорда неизвестна.

[svv]

Чтобы оценить на глазок — расхождение такое:
Wolfram|Alpha: plot (1-cos(alpha/2))/alpha; alpha/8 for alpha=0 to pi
По оси абсцисс отложен угол в радианах, потому что оба выражения, $\frac {1-\cos\frac{\alpha}2}{\alpha}\end{array}$ и $\frac{\alpha}{8}$, подразумевают, что угол в радианах.

[ewert]

Smogg в сообщении #1124346 писал(а):

И почему угол в 45-90 не очень большой...

Первые два члена формулы Тейлора -- это $\frac{\alpha}{8}-\frac{\alpha^3}^{384}$. Соответственно, отбрасывание второго слагаемого даёт относительную погрешность $\frac{\alpha^2}^{48}$, т.е. порядка пяти процентов на 90 градусах и чуть более процента на 45. Много это или мало -- решать Вам.

[amon]

Smogg в сообщении #1124346 писал(а):

А можно поточнее, насколько получится различие?

$1-\cos(\frac{\alpha}{2})\approx\frac{1}{2}\frac{\alpha^2}{4}$ Ошибка такого разложения для $\alpha=\frac{\pi}{2}$ оценивается как $\frac{1}{24}\left(\frac{\pi}{4}\right)^4\approx 0.015$ Т.е. ошибка оценки для угла 90 градусов порядка одного градуса.

[ewert]

amon в сообщении #1124350 писал(а):

Ошибка такого разложения для $\alpha=\frac{\pi}{2}$ оценивается как $\frac{1}{24}\left(\frac{\pi}{4}\right)^4\approx 0.015$

Это не та ошибка.

[amon]

ewert в сообщении #1124353 писал(а):

Это не та ошибка.

$R_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{n+1}(\theta x)\sim\frac{\theta x^{n+2}}{(n+1)!}\sim\frac{ x^{n+2}}{(n+1)!}$, но это все - ловля блох. (Во втором соотношении использована оценка для синуса.)

[ewert]

amon в сообщении #1124357 писал(а):

$R_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}f^{n+1}(\theta x)\sim\frac{\theta x^n}{(n+1)!}\sim\frac{ x^n}{(n+1)!}$, но это все - ловля блох.

Дело не в блохах, а в том, что Вы выписали тогда не ошибку, а поправку... к чему поправку?...

[amon]

ewert в сообщении #1124358 писал(а):

к чему поправку?

Это - оценка остаточного члена ряда Тейлора правой части. Вы сделали тоже самое, но чуть переоценили ее. Кроме того, по-моему, Вы забыли возвести синус в квадрат ;)