Примеры отношения направленности

[Anton_Peplov]

Существуют абстрактные математические структуры (группа, топология, отношение эквивалентности и т.д.) и их конкретные примеры. Назовем пример естественным, если он появился в математике сам по себе, а не был выдуман специально как пример данной математической структуры. Так, естественные примеры отношения эквивалентности - равенство чисел и сравнимость их по модулю $n$, параллельность прямых, подобие фигур и т.д. Естественным примерам цены нет, т.к. они убеждают ученика, что предъявляемая ему абстракция - обобщение чего-то содержательного, и избавляют от желания, глядя на нее, изрекать голосом былого губернатора Калифорнии:"Что ты за тварь?".
Напомню, что заданное на множестве $X$ отношение $\leqslant$ называется отношением направленности, если оно:
1. Рефлексивно.
2. Транзитивно.
3. $\forall x, y \in X \ \exists z \in X: \ x \leqslant z, y \leqslant z$.

Легко указать обширные классы направленных множеств:
а) линейно упорядоченные множества
б) частично упорядоченные множества с максимальным элементом. Так, любая система множеств с единицей направлена отношением $\subset$, чем, ЕМНИП, во весь рост пользуется топология.

Однако в определении частичного порядка есть один пункт, которого нет в определении направленности - антирефлексивность. Т.е. $ x \leqslant y \wedge y \leqslant x \Leftrightarrow x = y$. Определение направленности от антирефлексивности свободно, но существуют ли естественные примеры направленности, в которых оно не выполняется (т.е. направленности, не являющейся частичным порядком)?

Мне их разыскать не удалось.

[olenellus]

Ну, вот естественный (в Вашей терминологии) пример отдающий сильной неестественностью (в том смысле, что понятие направленности в науке, к которой он относится, не используется): любая динамическая система с конечным фазовым пространством и глобальным аттрактором, являющимся циклом.

Мы говрим, что $x \leqslant y$, если существует такой $n \in \mathbb N$ ($0 \in \mathbb N$), что $y = g^n(x)$, где $g$ — преобразование за единичный шаг, то есть, если из $x$ можно добраться в $y$ за несколько шагов.

Рефлексивность и транзитивность очевидны из полугрупповых свойств потока (да и без этого тоже очевидны). Выполнение же свойства направленности гарантируется тем, что единственный цикл является глобальным аттрактором: 1) любая точка за конечное число шагов достигает цикла и 2) любая точка цикла может быть за конечное число шагов достигнута из любой другой его точки.

Простейший нетривиальный пример, пожалуй, это следующая трёхточечная динамическая система

$$\xymatrix{x \ar@{->}[r] & y \ar@{->}@/_/[r] & z \ar@{->}@/_/[l]}$$

Но насколько я знаю, направленности нужны в первую очередь для того, чтобы говорить о пределе по Гейне и его эквивалентности пределу по Коши в общетопологическом контексте, где обычных сходящихся последовательностей не хватает. В этом случае достаточно рассматривать направленности ялвяющиеся упорядоченными множествами.

[ivvan]

А сколько утверждений о направленностях, для которых важна антисимметричность?