Окружность на плоскости Лобачевского

[sh.m.]

Здравствуйте! Подскажите пожалуйста, как будет выглядеть уравнение окружности, проходящей через 3 заданные точки, если такая существует, в модели единичного круга плоскости Лобачевского

[svv]

Так же, как выглядело бы уравнение окружности, проходящей через три заданные точки на обычной плоскости. Потому что окружности на плоскости Лобачевского изображаются окружностями в модели единичного круга.

Но есть две оговорки.

1. Если образом окружности $\alpha$ на плоскости Лобачевского является окружность $\tilde\alpha$ в модели, то евклидов центр $\tilde\alpha$ не является образом «настоящего» центра $\alpha$. (Надеюсь, Вы меня поняли...)

2. Окружности всегда изображаются окружностями, но обратное, вообще говоря, неверно. Не любая окружность в модели является образом именно окружности на плоскости Лобачевского.

[sh.m.]

Если я правильно понимаю, это будет определитель соответствующей матрицы. А не могли бы вы подсказать, как записать это уравнение через комплексные числа? Точки заданы комплексные.

[svv]

Вы имеете в виду этот определитель?
$\begin{vmatrix}x^2+y^2&x&y&1\\x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1\\\end{vmatrix}$
В нашем случае $x$ и $y$ — вещественная и мнимая части комплексного числа. Вам нужно их, а также $x^2+y^2$ выразить через $z$ и $\bar z$.

После этого, складывая и вычитая столбцы, а также убирая множители вроде $\frac 1 2$, $\pm i$ и подобные, можно будет привести полученный определитель с $z$ и $\bar z$ к красивому виду. Неудобство заключается в том, что в определитель теперь входят комплексные числа, и его значение должно быть комплексным числом, т.е. как бы получаются два вещественных уравнения. Однако вещественная часть определителя будет равна нулю тождественно (для любых $z$), а вот равенство мнимой нулю даст уравнение окружности. Но это я сильно забегаю вперёд, и не уверен, что Вы меня сейчас понимаете.

[sh.m.]

Большое спасибо, все понятно!