Диагональ декартова квадрата множества

[timber]

Продолжаю решать задачи из учебника Зорича.
В одной из задач на стр. 11 необходимо изобразить геометрически диагональ множества полученного декартовым произведением двух окружностей, то есть диагональ тора.
Предварительно дано такое определение:

Цитата:

Множество $\Delta =\left\lbrace (x_1, x_2) \in X^{2} \mid x_1 = x_2 \right\rbrace$ называется диагональю декартова квадрата $X^2$ множества $X$.

Хотелось бы понять правильно ли я что-то здесь понимаю и верны ли мои соображения:
1. Если говорить о декартовом квадрате $X^2$, тогда тор должен быть образован декартовым произведением двух одинаковых окружностей -- окружностей с равными радиусами. Тогда множество точек первой окружности совпадает с множеством точек второй, то есть $X=Y$ и $X\times Y = X \times X = X^2$.
2. Если развернуть такой тор, то получим квадратную плоскость (квадрат) со стороной $X$. Множество точек диагонали этого квадрата будут искомым множеством $\Delta$ тора. Начертим эту диагональ.
3. Сворачиваем квадрат в "трубочку" и склеиваем её концы. Получаем кольцо (тор). Начерченная диагональ квадрата будет выглядеть как непрерывная кривая линия на поверхности тора, сначала поднимающаяся вверх, а потом спускающаяся вниз.

[Sicker]

timber в сообщении #1122803 писал(а):

Тогда множество точек первой окружности совпадает с множеством точек второй, то есть $X=Y$ и $X\times Y = X \times X = X^2$.

Неверно. Вы путаете равенство множеств и определенных элементов множеств.
У вас равенство элементов вводится после их декартова произведения.

-- 11.05.2016, 15:11 --

timber в сообщении #1122803 писал(а):

Сворачиваем квадрат в "трубочку" и склеиваем её концы. Получаем кольцо (тор). Начерченная диагональ квадрата будет выглядеть как непрерывная кривая линия на поверхности тора, сначала поднимающаяся вверх, а потом спускающаяся вниз.

Верно.

[svv]

timber, можно Вас проверить?
Знаете ли Вы, как можно красиво задать тор в четырехмерном евклидовом пространстве?
Благодаря этой теме из Зорича это должно быть совершенно понятно.

[timber]

Sicker в сообщении #1122817 писал(а):

timber в сообщении #1122803 писал(а):

Тогда множество точек первой окружности совпадает с множеством точек второй, то есть $X=Y$ и $X\times Y = X \times X = X^2$.

Неверно. Вы путаете равенство множеств и определенных элементов множеств.
У вас равенство элементов вводится после их декартова произведения.

Тут наверное я неправильно выразился.
Я хотел сказать, что если мы возьмем две окружности (даже не знаю как это лучше записать), то для получения декартова квадрата $X^2$ необходимо равенство множеств $X, Y$.
Или декартово произведение любых двух окружностей всегда есть декартов квадрат, так как у них $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.

-- 12.05.2016, 00:54 --

А идея с квадратом (п.2) и его диагональю правильная?
Или в данном случае, только, когда мы говорим о диагонали какого-либо тора, сам тор может быть образован замыканием на себя любого прямоугольника или только квадрата?
Мне думается, что только квадрата.

[timber]

svv в сообщении #1122833 писал(а):

timber, можно Вас проверить?
Знаете ли Вы, как можно красиво задать тор в четырехмерном евклидовом пространстве?
Благодаря этой теме из Зорича это должно быть совершенно понятно.

Проверить, конечно, можно. Даже это будет полезно для моего развития!
Но Вы, может быть и не будете удовлетворены моим ответом.
Так как, во-первых, я точно все не знаю.
Во-вторых я только учусь и причем неформально, хотя с вашей помощью! Читаю книжки, пытаюсь решать задачки ...
Как задать тор в $\mathbb{R}^4$ сказать сразу не получается, но могу что-то предположить по аналогии процесса образования тора в $\mathbb{R}^3$ из прямоугольника (квадрата) в $\mathbb{R}^2$.
Дайте подумать.

-- 12.05.2016, 01:51 --

Вот уже возникает вроде бы какая-то логика (логическая цепочка).
1. Из объекта (отрезка) заданного в $\mathbb{R}$ путем операции $X^2 = X \times X$ переходим в объект (квадрат) в $\mathbb{R}^2$.
2. Из объекта (квадрата) в $\mathbb{R}^2$ путем преобразования (склеивание, замыкание на себя) получаем новый объект (тор) в $\mathbb{R}^3$.
Какая-то "цепная гомотопия" получается :) (читал про такое понятие, полностью его не осознал, но мне интуитивно кажется, что это где-то близко к цепочке 1-2).

-- 12.05.2016, 02:15 --

И далее, соответственно:
3. Нам нужно из $\mathbb{R}$ перейти в $\mathbb{R}^3$, чтобы потом попасть $\mathbb{R}^4$. Применяем операцию $X \times X \times X = X^3$, получаем новый объект (куб) в $\mathbb{R}^3$.
4. Действуя аналогично п.2, замыкаем куб на себя и тогда по указанной раньше логике должен получиться объект (тор) в $\mathbb{R}^4$. Только как он на самом деле выглядит, мне трудно представить.

[svv]

Берём плоскость $\mathbb E^2$ с декартовыми координатами $(x, y)$, строим единичную окружность с центром в начале координат.
Точка $A(x, y), A\in \mathbb E^2$ лежит на нашей окружности, если $x^2+y^2=1$.
Декартово произведение $\mathbb E^2\times\mathbb E^2$ — это множество упорядоченных пар точек
$(A_1, A_2), \quad A_1,A_2\in \mathbb E^2$
А декартово произведение нашей окружности на себя (даже не двух одинаковых!) — это множество таких упорядоченных пар точек $(A_1, A_2)$ с координатами соответственно $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$, для которых
$x_1^2+y_1^2=1$
$x_2^2+y_2^2=1$
Итак, для ясности: и первая, и вторая точка в каждой паре принадлежит $\mathbb E^2$. Сама пара принадлежит $\mathbb E^2\times\mathbb E^2$.

Так как пара точек задаётся четырьмя числами, хочется рассматривать эту четвёрку как одну точку в $\mathbb E^4$. Для этого мы естественным образом сопоставим каждой паре $(A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2))$ из $\mathbb E^2\times\mathbb E^2$ одну точку $A$ с декартовыми координатами $(x_1, y_1, x_2, y_2)$ в $\mathbb E^4$.

И — вот он, красавец-тор в $\mathbb E^4$. Это двумерная поверхность, задаваемая в декартовых координатах $(x_1, y_1, x_2, y_2)$ системой уравнений
$\begin{cases}x_1^2+y_1^2=1\\x_2^2+y_2^2=1\end{cases}$
Конечно, теперь можно переобозначить координаты в $\mathbb E^4$ как-то более привычно и получить, например:
$\begin{cases}x^2+y^2=1\\z^2+w^2=1\end{cases}$

Обратите внимание:
$\bullet$ я ничего «существенного» не делал, только переобозначал;
$\bullet$ то, что я делал, почти не выходит за рамки теории множеств, геометрии нет;
$\bullet$ строить тор в $\mathbb E^4$ естественнее, чем в $\mathbb E^3$, здесь он в своём изначальном обличьи; полученный тор в $\mathbb E^4$ более симметричен, чем любой тор в $\mathbb E^3$.

[INGELRII]

svv в сообщении #1123074 писал(а):

полученный тор в $\mathbb E^4$ более симметричен, чем любой тор в $\mathbb E^3$.

К примеру, в $\mathbb{E}^4$ существует поворот, переводящий тор сам в себя, но меняющий образующие его окружности местами. А чтобы предъявить такое же преобразование в $\mathbb{E}^3$, надо хорошенько извратиться.

[timber]

svv,
ну вот видите, я Вас даже не смог правильно понять.
Вы оказывается говорили про запись аналитического выражения 4-мерного тора, а я подумал, что "задать тор в четырехмерном евклидовом пространстве" подразумевает то, какие действия и в каком порядке (алгоритм) нужно сделать, чтобы его получить.
То есть моя идея ошибочна?

[svv]

Каюсь, я очень нечётко поставил вопрос. Поэтому Вы описывали другое построение. (Конечно же, оно имеет смысл.)
Но ничего страшного! Главное, чтобы в итоге мы друг друга поняли.
Я хотел показать, что тор в четырехмерии можно построить, опираясь почти исключительно на декартово произведение окружности на плоскости на себя.

[timber]

Ну да, отлично
Но для себя я решил, что мне не до конца понятна вся "глубина" декартова произведения. Например, затрудняюсь, когда мы рассматриваем отношения пустого множества и декартова произведения, то мне трудно строить логические переходы, чтобы доказать какое-то определенное утверждение, используя факт заданного отношения между множествами.
Это, видимо, уже надо выносить за пределы данной темы.
И спасибо за помощь!