Асимптотика дельты из равномерной непрерывности

[demolishka]

Пусть $f \in C([0;1])$ и $\delta(\varepsilon)>0$ --- число дельта из определения равномерной непрерывности для $\varepsilon>0.$ Существуют ли работы, в которых исследуется асимптотическое поведение $\delta(\varepsilon)$ при $\varepsilon \to 0$?
К примеру для $f(x) = \sqrt{x}$ имеем

$$\varepsilon > f(x)-f(0)=f'(c) (x-0)$$

поэтому, если положить $x=\delta$, то получим неравенство

$$\frac{1}{2\sqrt{\delta}} \delta < \varepsilon,$$

откуда $\delta(\varepsilon) = O (\varepsilon^2)$.

[Red_Herring]

Ключевое слово: модуль непрерывности. М.б. все что угодно, но не лучше чем $\delta=O(\varepsilon)$

[mihailm]

Бари Стечкин Наилучшие приближения и ..., 56 год