Линейная зависимость. sint,sin2t,sin3t

[dmitry4xy]

Здравствуйте.
Прохожу курс на Stepic от этих ребят: Nikolay Gusev, Paolo Bonicatto, Stefano Modena.
Чуть ли не в первых заданиях было:


Мне не понятно, почему векторы $\sin t, \sin2t, \sin3t$ являются линейно независимыми.

Векторы $\sin t, \sin2t, \sin3t$ будут линейно независимыми, когда $\alpha\sin t + \beta\sin2t + \gamma\sin3t = \vec{0}$ $\forall t$ будет достигаться только на тривиальной линейной комбинации, но взяв $t=0 : \alpha\sin t + \beta\sin2t + \gamma\sin3t = \vec{0}$ $\forall \alpha,\beta,\gamma$

Поясните, пожалуйста, в чем я совершаю ошибку.
Спасибо.

[mihailm]

Ошибка в том, что решать задачи, не поняв определения не хорошо. Кстати, что есть нолик со стрелочкой сверху (в равенстве с синусами)?

[Someone]

В том, что не посмотрели (или плохо посмотрели) определение линейной зависимости функций.

[provincialka]

dmitry4xy в сообщении #1122198 писал(а):

взяв $t=0$

А взяв какое-нибудь другое $t$?

[dmitry4xy]

mihailm, нуль-вектор тут не к месту, согласен, с функциями же работаем. Сгоряча влепил.
Someone, mihailm, чтобы доказать эти функции л.з., мне надо показать что все коэффициенты не равны нулю одновременно, для любого аргумента функции, а если не покажу это, то функции л.н.з.
Допустим, что существуют коэффициенты, не равные нулю одновременно, и для них справедливо $\alpha\sin t + \beta\sin2t + \gamma\sin3t = 0$ $\forall t$
Это достигается если $\alpha=\beta=\gamma=0$ или $t=0$. Ведь при этом $t$ мы тоже зануляем сумму...
Второй вариант удовлетворяет нашему изначальному предположению...
Честно, я не вижу, в чем логическая ошибка, но очень хочу разобраться.

-- 09.05.2016, 12:34 --

Для такого набора функций очевидно, что это выполняется только для обнуленных коэффициентов и для любого аргумента, но в моем изначальном примере я этого не вижу.


-- 09.05.2016, 12:45 --

provincialka, ведь по определению линейная комбинация должна быть равна нулю либо как тривиальная линейная комбинация, либо как нетривиальная линейная комбинация для любого аргумента. И в зависимости от этого мы определяем, является она л.з. или л.н.з.
Для случая:

все понятно.

Но здесь я не понимаю, почему я интуитивно этого не могу прочувствовать, и как это строго доказать, если интуиция подводит.

[Pphantom]

dmitry4xy в сообщении #1122203 писал(а):

Ведь при этом $t$ мы тоже зануляем сумму...
Второй вариант удовлетворяет нашему изначальному предположению...

Линейно зависимыми на множестве $T$ называются функции... для которых существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю для всех $t \in T$.

В условии Вашей задачи есть утверждение, что $t \in \mathbb{R}$. Следовательно...

[dmitry4xy]

Pphantom, понял вас. Странный затуп у меня был.
Большое спасибо всем ответившим.
Тема закрыта.