Привести пример предкомпактного множества

[ewert]

Привести контрпример.

Да, кстати: а что в точности "это"?...

[Frank Costello]

Я хожу по кругу. Вы говорите контрпример. Значит нужно придумать так, чтобы в $l_1$ был один предел, а в $l_2$ другой?
"Это" - то, что из предкомпактности в $l_1$ не следует предкомпактность в $l_2$.

[ewert]

Чтобы по отношению к одной норме предел существовал, по отношению к другой -- не существовал.

[Frank Costello]

Frank Costello в сообщении #1120587 писал(а):

На ум приходят только когда сходятся в эль-два, но не сходятся в эль-один.

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1120883 писал(а):

Frank Costello в сообщении #1120587 писал(а):

На ум приходят только когда сходятся в эль-два, но не сходятся в эль-один.

Приведите.

-- Ср май 04, 2016 15:19:52 --

Frank Costello в сообщении #1120880 писал(а):

"Это" - то, что из предкомпактности в $l_1$ не следует предкомпактность в $l_2$.

Это неправильное "Это".

[Frank Costello]

Ну тот же самый гармонический ряд например. Можно было бы еще что-нибудь комплексное придумать, но я не уверен, как они из под модулей будут выходить. Скорее всего как длины этих комплексных чисел. Так что только гармонический пока.

-- 04.05.2016, 15:31 --

Dan B-Yallay в сообщении #1120689 писал(а):

Frank Costello в сообщении #1120682 писал(а):

Множество, предкомпактное в эль-один автоматически будет предкомпактно и в эль-два, не так ли?

А если наоборот?

Кому верить?

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1120893 писал(а):

Ну тот же самый гармонический ряд например.

Это не последовательность, а всего лишь один элемент. К тому же он кое-где не лежит. Хотя для затравки можно и над ним поразмыслить.

[Frank Costello]

Ну можно брать финитные последовательности, сходящиеся к гармонической последовательности. Они принадлежат $l_1$.
(1,$ \frac {1}{2}$, $ \frac {1}{3}$, ... , $ \frac {1}{n}$, 0, ...) - n-ый член последовательности.

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1120904 писал(а):

Ну можно брать финитные последовательности, сходящиеся к гармонической последовательности. Они принадлежат $l_1$.
(1,$1 \frac 2$, $1 \frac 3$, ... , $1 \frac n$, 0, ...) - n-ый член последовательности.

Так можно (если, конечно, исправить запись дробей). Так вот: множество элементов этой последовательности -- предкомпактно ли в $l_1$?... в $l_2$?...

[Frank Costello]

Мне кажется, что не предкомпактно в $l_1$, и предкомпактно в $l_2$.

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1120911 писал(а):

Мне кажется, что не предкомпактно в $l_1$, и предкомпактно в $l_2$.

Ну и доказывайте. А для закрепления попробуйте также доказать, что всё-таки

Frank Costello в сообщении #1120682 писал(а):

Множество, предкомпактное в эль-один автоматически будет предкомпактно и в эль-два

[Frank Costello]

Ну по крайней мере нестрого как-то так: поскольку предел этих последовательностей не принадлежит $l_1$, то при замыкании мы не будем иметь компактности (в $l_1$). С $l_2$ все проще, мы добавим предельный элемент, то бишь гармонический ряд, и из покрытия выберем конечное подпокрытие.

По поводу второго утверждения: из неравенства $\left\lVert \cdot\right\rVert_l_2 $ $\leqslant$ $\left\lVert \cdot\right\rVert_l_1$, можно видеть, что если множество $K \subset l_1$ допускает конечную $\varepsilon$-сеть $E \subset K$ в смысле $l_1$, то $E$ будет $\varepsilon$-сетью и в смысле $l_2$.

Как-то так.

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1121008 писал(а):

добавим предельный элемент, то бишь гармонический ряд, и из покрытия выберем конечное подпокрытие.

Frank Costello в сообщении #1121008 писал(а):

если множество $K \subset l_1$ допускает конечную $\varepsilon$-сеть $E \subset K$ в смысле $l_1$

А ведь Вам же давно уже рекомендовали, притом вполне резонно:

alcoholist в сообщении #1088430 писал(а):

лучше воспользуйтесь секвенциальной компактностью

Хотя да, во втором случае это действительно разумно. А вот в первом, и даже во втором первом: что значит "выберем"?... где выбор-то?...

По первому же первому -- подсказка: есть некое (и очень простое) необходимое условие предкомпактности.

[Frank Costello]

Вполне ограниченность?

[ewert]

Frank Costello в сообщении #1121059 писал(а):

Вполне ограниченность?

Одно слово лишнее.

(Оффтоп)

(как ни старайся сдерживаться, но в конце концов ничего не поделать, увы; ну разве что прибегнуть к способу ув. gris, но и он не надолго помогает)