Задача на пружину и идеальный газ

[Опарин]

В горизонтальном цилиндрическом сосуде перемещается без трения поршень, который связан с основанием цилиндра пружиной. Недеформированному состоянию пружины соответствует крайнее левое положение поршня. Слева от поршня находится идеальный газ, занимающий обьем $V_1=2L$ при давлении $P_1=10^5 Pa$ . Состороны пружины вакуум. Какую работу совершает газ при увеличении обьема в $2$ раза.


помогите решить

[Tiger-OZ]

Задача некорректно поставлена. Если предположить, что в данной задаче рассматривается изотермический процесс, то работа вычисляется исходя из общего определения работы газа
$A = $\int_{V_1}^{V_2} p dV$$
Зависимость давления от времени находим из уравнения состояния для изотермического процесса.
С учётом, того, что предметом ТД являются квазистатические процессы, то сила давления газа должна компенсироваться силой упругости пружины, коя при деформации меняется. Поэтому это не может быть изобарный или изохорный процессы. Но на изотермический процесс в задаче отсутствую какие-либо указания. Как я понимаю это задача для школьников, поэтому другого выхода не вижу.

[Опарин]

$A = $\int_{V_1}^{V_2} p dV$$

тоесть это и есть ответ ??
просто решение школьнай задачи с интегралом

[Архипов]

Похоже, не хватает исходной темературы газа для того, чтобы вычислить его количество. "моль любого газа при нормальных условиях (Рст, Тст) занимает одинаковый объем 22,4 л".
http://www.crimea.edu/tnu/structure/phy ... l/term.htm

[Опарин]

даже не знаю что и сказать . Мне такую задачу дали в школе

[Парджеттер]

А что есть $L$? Это длина сосуда или длина участка сосуда, в котором находится газ?

Опарин писал(а):

В горизонтальном цилиндрическом сосуде перемещается без трения поршень, который связан с основанием цилиндра пружиной. Недеформированному состоянию пружины соответствует крайнее левое положение поршня. Слева от поршня находится идеальный газ, занимающий обьем $V_1=2L$ при давлении $P_1=10^5 Pa$ . Состороны пружины вакуум. Какую работу совершает газ при увеличении обьема в $2$ раза.

Честно говоря, ничего умного в голову не приходит. Какая-то задача недоделанная.
По-моему, для того, чтобы такую задачу решить, надо условие подкорректировать. Во-первых, надо предположить, что $L$ - это длина части сосуда в которой содержится газ с самого начала. Других смыслов для $L$ я просто не вижу.
Нам дана связь объема с длиной. Значит все геометрические характеристики сосуда у нас есть.
Раз объем изменился в два раза, то поршень передвинулся на $L$. Термодинамически, можно составить два уравнения - для начального и для конечного состояний. Ничего существенного из них вытащить нельзя, если не предположить, что процесс изотермический. Далее - пружина оказывает силу сопротивления расширению. И в пружине не было бы никакого смысла, если не предположить, что после расширения газа в 2 раза, поршень остановится. А работа газа по расширению пошла на увеличение потенциальной энергии пружины. Трения нет, значит нет диссипации энергии. Значит вся работа газа пошла в пружину. И, следовательно, потенциальная энергия пружины в конце процесса равна работе газа.
Короче говоря, понадобилось сделать аж три предположения
1) $L$ - длина части сосуда с газом;
2) процесс изотермический;
3) при увеличении объема в 2 раза поршень остановился.

Многовато по-моему. Быть может, я посмотрел невнимательно, и число допущений можно уменьшить? Скажем до нуля...

[Опарин]

Понятно - это задача нерешаемая.
Спасибо, что дали мне понять то что она нерешаемая . Иначе, я бы не выложил ее на форум.

[peregoudov]

Почему же нерешаема? ИМХО, вполне решаема.

Давление в газе, очевидно, определяется сжатием пружины $p=kx/S=kV/S^2$. Из начальных данных находим $k/S^2=p_1/V_1$, поэтому $p=p_1V/V_1$. Работа газа равна

$$ A=\int_{V_1}^{V_2}p\,dV= \int_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V\,dV}{V_1}= \left.\frac{p_1V^2}{2V_1}\right|_{V_1}^{V_2}= \frac{p_1V_1}2[(V_2/V_1)^2-1]=\frac{3p_1V_1}2. $$

[Парджеттер]

Что-то как-то вы лихо. Я не понял.

peregoudov писал(а):

Давление в газе, очевидно, определяется сжатием пружины $p=kx/S=kV/S^2$.

Согласен.

peregoudov писал(а):

Из начальных данных находим $k/S^2=p_1/V_1$, поэтому $p=p_1V/V_1$.

А вот этого я не понял, признаться.

[Архипов]

peregoudov , пожалуй, прав.
В цилиндр закачали 2л газа, давление Р1. Поршень при этом сместился на $x=P1*S/k=P1*V1/(kx)$, $x^2=P1*V1/k$ . При перемещении поршня еще на х (объем увеличится в 2 раза) совершится работа по сжатию пружины от х до 2х. Тогда $A= k(4x^2-x^2)/2=3*k*x^2/2=3*P1*V1/2$
Что интересно,- термодинамикой и не пахнет в таком решении.

[Парджеттер]

Так. Теперь начинает доходить, что такое $L$. Это литры! Честно говоря, никак не привыкну к дурацкой привычке обозначать размерности по-английски. Ну $Pa$ еще можно понять. Но $L$... И, что самое главное, я не понимаю ЗАЧЕМ? И зачем ставить $*$ при умножении я тоже не понимаю.

Архипов писал(а):

В цилиндр закачали 2л газа, давление Р1. Поршень при этом сместился на $x=P1*S/k=P1*V1/(kx)$, $x^2=P1*V1/k$ .

А... теперь я понял. Вы с peregudov'ым, значит, вот как задачу интерпретировали. При такой интерпретации, наверное, так и выходит. Но лично я бы понял задачу по-другому. Во-первых, из условия задачи вполне можно сделать вывод, что в начальный момент в цилиндре уже есть газ и поршень начинает двигаться из своего "крайнего левого положения", которое он при этом занимает (в данном случае "крайнее левое положение" очень обтекаемая вещь). То есть поршень начинает движение при нулевом сопротивлении пружины. Тогда никаким равенством не пахнет $P_1S \ne kx_1$.

Архипов писал(а):

При перемещении поршня еще на х (объем увеличится в 2 раза) совершится работа по сжатию пружины от х до 2х. Тогда $A= k(4x^2-x^2)/2=3*k*x^2/2=3*P1*V1/2$

Вот тут штука, о которой я писал - в условии не сказано, что при увеличении объема в 2 раза, поршень остановился. То есть, вообще говоря, опять $P_2S \ne kx_2$.

Т.е. мне кажется, вы задачу правильно интерпретировали. Но, честно сказать, такое условие... я бы голову оторвал тому, кто составил.

[Tiger-OZ]

peregoudov писал(а):

Почему же нерешаема? ИМХО, вполне решаема.

Давление в газе, очевидно, определяется сжатием пружины $p=kx/S=kV/S^2$. Из начальных данных находим $k/S^2=p_1/V_1$, поэтому $p=p_1V/V_1$. Работа газа равна

$$ A=\int_{V_1}^{V_2}p\,dV= \int_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V\,dV}{V_1}= \left.\frac{p_1V^2}{2V_1}\right|_{V_1}^{V_2}= \frac{p_1V_1}2[(V_2/V_1)^2-1]=\frac{3p_1V_1}2. $$

Именно это я и имел в виду. $p=p_1V/V_1$ - уравнение изотермического процесса, которое написано в школьном учебнике. С остальным вроде бы разобрались. Единственное, хотелось бы что бы Опарин до этого уравнения додумался сам.

[Опарин]

да до такого уравнения я бы наверное не додумался . Но прочитав все сообщения в этой теме мне стало понятно как решать эту задачу .


Спасибо за помощь

[AD]

Парджеттер писал(а):

Так. Теперь начинает доходить, что такое $L$. Это литры! Честно говоря, никак не привыкну к дурацкой привычке обозначать размерности по-английски. Ну $Pa$ еще можно понять. Но $L$... И, что самое главное, я не понимаю ЗАЧЕМ?

Наверное, просто русские буквы умирают при окружении их долларами.

$Л$ $\hbox{Л}$

$Л$ $\hbox{Л}$

[Tiger-OZ]

Опарин писал(а):

да до такого уравнения я бы наверное не додумался

Учебник надо читать внимательнее