Реально ли осознавать математику на высоком уровне?

[Sijoji]

Довольно сложно объяснить словами, что я имею ввиду. Понимать сам механизм на более глубоком уровне, почему именно так происходит.

Например, при переносе за "=", знак положительного числа меняется на отрицательный, потому что с левой стороны уравнение уменьшилось на n единиц число, тогда с правой нужно тоже уменьшить на n. Получается, это не совсем перенос, а восстановления баланса. Так вот, когда ко мне пришло понимание этого, то я понял, что иногда также можно "переносить" множитель и менять его на делитель. То есть, в данном случае, фундаментальное понимание процесса переноса числа за знак "=" дает очевидные преимущества (кстати, при таком понимании забыть какой-то закон значительно сложнее). А возможно ли понимать на значительно более высоком уровне, и вообще, имеет ли это смысл(траты оправдывают награду)?

И немного холиварный вопрос тоже задам, чтобы отдельный топик не задавать: почему в школах учат на уровне следствий, без объяснения их причин? Мне всегда объясняли: это переноси сюда, дели на это, подставляй цифорки сюда. И уже через месяц после прохождения темы я забывал куда переносить, на что делить, и куда подставлять цифорки. Возможно, так сделано потому что мы не способны самостоятельно осознать формулы типа нахождения дискриминанта, а с образованием все в порядке? Возможно, нужно соблюдение баланса? Тогда, мне кажется, с образованием определенно проблемы... либо мне с учителями не повезло.

[Dan B-Yallay]

Не знаю как учат сейчас, но нас учили начиная с 1 класса именно "балансу". На счётных палочках.

[arseniiv]

Sijoji в сообщении #1120234 писал(а):

Например, при переносе за "=", знак положительного числа меняется на отрицательный, потому что с левой стороны уравнение уменьшилось на n единиц число, тогда с правой нужно тоже уменьшить на n. Получается, это не совсем перенос, а восстановления баланса.

Проще всего воспринимать это как прибавление одного и того же к обоим частям (разумеется, в том числе отрицательного числа) (а уж потом в одной из них что-нибудь сократится). Тогда, во-первых, из старого равенства следует новое (это просто обычные свойства равенства — если $a=b$, то замена одного на другое где бы то ни было ничего не поменяет), и, во-вторых, из нового равенства будет следовать старое, потому что любое уравнение вида $x+a = b$ имеет ровно одно решение. Раз следствия в обе стороны, это равносильное преобразование. Всё, больше ничего тут нет.

Sijoji в сообщении #1120234 писал(а):

И немного холиварный вопрос тоже задам, чтобы отдельный топик не задавать: почему в школах учат на уровне следствий, без объяснения их причин?

Ну, во-первых, где как. Во-вторых, нельзя всё выводить сразу из самых общих соображений — и не влезет это в школьную программу, и человеческая голова любит накопить много примеров, прежде чем абстрагировать.

[Sonic86]

Sijoji в сообщении #1120234 писал(а):

Например, при переносе за "=", знак положительного числа меняется на отрицательный, потому что с левой стороны уравнение уменьшилось на n единиц число, тогда с правой нужно тоже уменьшить на n. Получается, это не совсем перенос, а восстановления баланса. Так вот, когда ко мне пришло понимание этого, то я понял, что иногда также можно "переносить" множитель и менять его на делитель. То есть, в данном случае, фундаментальное понимание процесса переноса числа за знак "=" дает очевидные преимущества (кстати, при таком понимании забыть какой-то закон значительно сложнее). А возможно ли понимать на значительно более высоком уровне, и вообще, имеет ли это смысл(траты оправдывают награду)?

Вы не поверите, но это просто аксиома равенства (определение):
$(\forall x)(\forall y)x=y \Rightarrow f(x)=f(y)$
В частности: $x=y\Rightarrow x+n=y+n, xa=ya, x^2=y^2, \sin x = \sin y, \sqrt{x+1}=\sqrt{y+1}$ и т.п.
И как бы глубже аксиомы понимать, видимо, некуда. Ну разве что знать список эквивалентных аксиом.
а описание преобразования переноса немножко уводит от сути, т.к. оно более синтаксическое.

Sijoji в сообщении #1120234 писал(а):

почему в школах учат на уровне следствий, без объяснения их причин? Мне всегда объясняли: это переноси сюда, дели на это, подставляй цифорки сюда. И уже через месяц после прохождения темы я забывал куда переносить, на что делить, и куда подставлять цифорки. Возможно, так сделано потому что мы не способны самостоятельно осознать формулы типа нахождения дискриминанта, а с образованием все в порядке? Возможно, нужно соблюдение баланса? Тогда, мне кажется, с образованием определенно проблемы... либо мне с учителями не повезло.

Зависит от села/города, школы, учителя, степени его задолбанности, уровня класса. Ну и конечно, проще всего рассказать алгоритм решения, чем то, откуда он взялся и что означает. Максимально точно выдать трудно - вспомните пример колмогоровской реформы среднего образования - все-таки очень глубоко может лежать полное понимание, потому его часто надо асиливать в несколько итераций.

[Sijoji]

Цитата:

Вы не поверите, но это просто аксиома равенства (определение):
$(\forall x)(\forall y)x=y \Rightarrow f(x)=f(y)$
В частности: $x=y\Rightarrow x+n=y+n, xa=ya, x^2=y^2, \sin x = \sin y, \sqrt{x+1}=\sqrt{y+1}$ и т.п.
И как бы глубже аксиомы понимать, видимо, некуда. Ну разве что знать список эквивалентных аксиом.
а описание преобразования переноса немножко уводит от сути, т.к. оно более синтаксическое.

Я написал, что мне сложно словами объяснить, что я имею ввиду. Но в общих чертах смысл понятен: можно понимать одну тему математики на разных уровнях — поверхностном(цифорки сюда) и фундаментальном(цифорки сюда, потому что...)

Но имеет ли смысл фундаментальное понимание, или можно просто заучить законы и работать с ними?

-- 02.05.2016, 22:36 --

Цитата:

И как бы глубже аксиомы понимать, видимо, некуда. Ну разве что знать список эквивалентных аксиом.

Почему "понимать глубже некуда"? Разве вам не интересно почему, например, число в 0 степени равно 1? Да это также и приводит к пониманию почему число с отрицательной степенью "переворачивается", и как работать с ней; а также забыть сложнее эту аксиому.

[mihaild]

Sijoji в сообщении #1120253 писал(а):

Почему "понимать глубже некуда"? Разве вам не интересно почему, например, число в 0 степени равно 1?

Потому что это доказывается из определения степени?

[Sijoji]

Цитата:

Потому что это доказывается из определения степени?

Эта аксиома выводится, именно. Но ведь многие запоминают это как данность, без понимания откуда это взялось.

Или мы говорим о разных вещах сейчас.

-- 02.05.2016, 22:52 --

Кстати говоря, не совсем из определения. Ну да ладно.

[mihaild]

Sijoji в сообщении #1120257 писал(а):

Эта аксиома выводится, именно. Но ведь многие запоминают это как данность, без понимания откуда это взялось.

Можно ввести и аксиоматически - натуральные степени (и уже тут логично сказать про $x^0$), отрицательные и рациональные, и дальше по непрерывности. Что в этом ужасного?

Sijoji в сообщении #1120257 писал(а):

Или мы говорим о разных вещах сейчас.

Возможно. Я про определение степени как $a^b = e^{b \ln a}$ (для вещественных положительных оснований), а вы?

Sijoji в сообщении #1120257 писал(а):

Кстати говоря, не совсем из определения. Ну да ладно.

Как "не совсем из определения"? Больше не из чего (ну естественно кроме остальных аксиом вещественных чисел, или где там берется степень).

[Red_Herring]

Sijoji в сообщении #1120257 писал(а):

Эта аксиома выводится, именно.

Аксиомы не выводятся, иначе они были бы теоремами. Впрочем, для введения аксиом (введения, а не вывода!) имеются мотивировки.

[grizzly]

Sonic86 в сообщении #1120246 писал(а):

И как бы глубже аксиомы понимать, видимо, некуда. ...
а описание преобразования переноса немножко уводит от сути, т.к. оно более синтаксическое.

Понимание -- понятие ёмкое и неоднозначное. Возьмём такой пример. Пусть есть кубик Рубика и 2 человека, которые понимают, как его собрать. Первый понимает, как работают "формулы" (композиции вращений граней), другой строит своё понимание в терминах: "спрячем временно этот кубик, переставим эти 2, вернём спрятанный на место".

Описанные "понимания" имеют непустое пересечение, но существенно отличаются по нескольким характеристикам.

[Anton_Peplov]

Представим себе человека, который никогда не играл в шахматы. Ему дали список правил и поручили следить за партией. Он сможет констатировать, что – да, каждый ход сделан по правилам, и – да, это мат. Он видит, что поставлен мат, но не понимает, почему он поставлен. «Потому что король ходит так, а ферзь этак» – не ответ. Правила, регулирующие возможные и невозможные ходы – это еще не все шахматы (в принципе, все шахматы выводимы из этих правил, но на практике такой вывод непосилен ни человеку, ни существующим компьютерам). Игрок проиграл, потому что не развивал фигур / упустил центр / не берег пешек и так далее. В шахматах есть свои законы, свои причинно-следственные связи. А наш наивный наблюдатель не знает их, не понимает, как здесь все устроено.
Именно это чувство "каждый ход сделан по правилам, но я не понимаю, что происходит" у меня возникает при изучении некоторых областей математики. При изучении других областей этого чувства не возникает.

[Sonic86]

grizzly в сообщении #1120412 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1120246 писал(а):

И как бы глубже аксиомы понимать, видимо, некуда. ...
а описание преобразования переноса немножко уводит от сути, т.к. оно более синтаксическое.

Понимание -- понятие ёмкое и неоднозначное. Возьмём такой пример. Пусть есть кубик Рубика и 2 человека, которые понимают, как его собрать. Первый понимает, как работают "формулы" (композиции вращений граней), другой строит своё понимание в терминах: "спрячем временно этот кубик, переставим эти 2, вернём спрятанный на место".

Описанные "понимания" имеют непустое пересечение, но существенно отличаются по нескольким характеристикам.

Ну да - язык (система понятий) тоже роль играет.
Интересно, можно ли указать какой-нибудь параметр, по которому можно выбрать оптимальный язык для описания теории? (Например, все мы знаем, что аристотелева логика более громоздка, чем булева, что аксиомы Вейля понятнее аксиом Гильберта и т.п. Почему мы так считаем?)

[arseniiv]

Грубо говоря, меньше возни — но на таком уровне, наверно, вы это тоже знаете. Чтобы уточнять, возможно, придётся разбираться с работой головы в деталях.

[dima90]

Sonic86
Под оптимальным вы имеете в виду наиболее компактный(1ый ваш пример) или наиболее понятный для человека(2ой пример)?
Во втором случае заветного параметра не будет, уж слишком люди(и их мозги) разные.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Сколько раз напоминать, что «уж слишком разные» это оценочное суждение.

Однако математики нередко бывают согласны по поводу чего-нибудь и даже одинаково понимают, что такое доказательство.