Построение СЛАУ из отдельных уравнений

[3DRaven]

Идиотский вопрос с которым не к кому пойти :) Даже не знаю что спросить хочу толком.

В общем есть пусть два полинома третьей степени (это просто для примера), записанных параметрически. Делаем кубическую интерполяцию сплайном Эрмита. Выходит сплайн состоит из двух участков-полиномов. Собираем СЛАУ для поиска коэффициентов наших двух полиномов, таких, что кривые проходят через заданные точки и имеют заданные касательные в своих начальных точках. В общем сплайн из двух кусков, все просто.

Вся система условий, однозначно задающая наши полиномы выглядит так (p - точки, v - касательные):
\begin{equation*} \begin{cases} r_0'(1)-r_1'(0)=0, \\ r_0''(1)-r_1''(0)=0 \\ r_0'(0)=v_0 \\ r_1'(0)=v_1 \\ r_0(0)=p_0 \\ r_0(1)=p_1 \\ r_1(0)=p_1 \\ r_1(1)=p_2 \end{cases} \end{equation*}

Когда СЛАУ собираем для поиска коэффициентов мы берем коэффициенты коэффициентов наших полиномов r(t)=1at^3+1bt^2+1ct+1d и их производных, составляем эти коэффициенты в строки матрицы нашей СЛАУ и решаем ее. Ура, коэффициенты нашлись, все получилось, все там просто.

Строка нашей СЛАУ состоит из всех коэффициентов, которые мы имеем в полиномах или их первых производных. То есть в одну строку входят коэффициенты из обоих уравнений полиномов. Таким образом там где мы задаем, например, непрерывность первых двух производных сплайна в точке, понятно, что все коэффициенты входят в уравнение так как там получается r_0'(1)-r_1'(0)=0, r_0''(1)-r_1''(0)=0. Но вот в тех строках где мы задаем прохождение сплайна через точку, ведь туда входит уравнение всего одного полинома r_0(0)=p_0 (например), а мы все равно задаем строку длинной в оба полинома, просто заполненную нулями. Как бы второе уравнение там все равно присутствует r_0(0)+0\cdot(r_1(0))=p_0.
То есть в строке СЛАУ для условий прохождения через точки и условий для касательных, там вообще то присутствует "что угодно" помноженное на 0 только что бы длину строки соблюсти. Что бывает если это что угодно как то задать, что то туда поставить и не умножать на 0? Мне стыдно, но не спросить не могу :)

[arseniiv]

3DRaven в сообщении #1119618 писал(а):

Что бывает если это что угодно как то задать, что то туда поставить и не умножать на 0?

Несоответствие.

Допустим, есть одна система, записанная как куча «скалярных» уравнений, и есть совершенно другая система, записанная как $A\mathbf x=\mathbf b$. Они могут иметь разные решения, а могут — совпадающие. Если правильно делать преобразование системы из записанной в одном виде в записанную в другом виде, то решения будут ровно те же, ну а если неправильно — мало ли что будет.

[ewert]

3DRaven в сообщении #1119618 писал(а):

Но вот в тех строках где мы задаем прохождение сплайна через точку, ведь туда входит уравнение всего одного полинома r_0(0)=p_0 (например),

Я ничего не понял, но. При "прохождении сплайна через" заведомо задействуются два полинома: тот, который слева -- и тот, который справа.

А они совершенно разные, между прочим. В чём вопрос-то?...

[3DRaven]

arseniiv в сообщении #1119628 писал(а):

3DRaven в сообщении #1119618 писал(а):

Что бывает если это что угодно как то задать, что то туда поставить и не умножать на 0?

Несоответствие.

из записанной в одном виде в записанную в другом виде

Ясно, это просто способ записи. Спасибо, полегчало :)

-- Вс май 01, 2016 14:12:41 --

Вообще, меня всегда беспокоили вещи, сводящиеся к фразе "это просто способ записи". Не могу их понимать. Всегда кажется, что в этом способе записи заложен не просто механический метод записи уравнений, а некоторая закономерность, мне неясная. Например в приведенном случае весь способ записи очень похож на то, что мы складываем все входящие в СЛАУ "скалярные" уравнения одной степени производной между собой \sum (r_i(t) \cdot c_i)=p_0; c_i=[0,1,-1], но умножая на векторы коэффициентов, состоящий из 1,0 и -1. Потом получившееся по сути одно уравнение мы записываем в виде матрицы СЛАУ и решаем, раскладывая решение на основе ранее использованного c_i. При этом можно начать думать о том, что векторы c можно как то менять, что то там творить с ним. В общем тогда это имеющая для меня смысл конструкция. А от "это способ записи" я начинаю переживать, терять аппетит и чувствовать себя идиотом больше обычного :) Потом пойти спросить не у кого :)

[arseniiv]

3DRaven в сообщении #1119785 писал(а):

Ясно, это просто способ записи.

Ну, не совсем. Вообще система уравнений, любая, определяет какой-то предикат от всех имеющихся там переменных. Но СЛАУ мы можем понимать как предикат от $n$ вещественных (или ещё каких-то) переменных, а «систему» из одного линейного уравнения $A\mathbf x=\mathbf b$ с векторами и линейным оператором естественно понимать как предикат уже от одной переменной из векторного пространства, к которому, вообще говоря, никакого специального интересного базиса, чтобы предпочесть одни координаты всех этих вещей другим, может не предлагаться. (Хотя и не в случае, если это уравнение получено из СЛАУ со скалярными переменными — тут всё будет происходить в $\mathbb R^n$, где выделенные компоненты есть.)

[3DRaven]

Что до предикатов, спасибо, это проясняет ситуацию когда уже имеем СЛАУ и можем думать о ней как о линейном операторе, отображающем одно пространство в другое. Это я припоминаю. Но оператор собрать надо из наших уравнений например полиномов, да еще и разных степеней (длин), а матрица квадратная. Вот этот момент сбора матрицы из отдельных уравнений, сам механизм меня и смутил, хоть я его и знал, и даже пользовал, но внезапно понял, что...не понимаю. Само формирование матрицы меня и смутило. Для себя я это запомнил именно как "формирование происходит путем сложения уравнений одной производной, помноженных на вектора коэффициентов 1,0,-1 и сбора всего этого в матрицу-оператор". Потом уже подумал, что сам вектор 1,0,-1 (их много ведь, по одному на строку и все разные) наверное тоже можно покрутить и получить вообще что то другое, оперирующее самими функциями как объектами какого то пространства в котором эти векторы 1,0-1 порождают базис. Но это так, туманные глубины подсознания. Я уже сталкивался с тем, что некоторые вещи не могу понять потому как...ну как неудобный предмет лежат в голове, который надо наизусть запоминать без всякого смысла. Вот так лежал метод формирования нашего линейного оператора из отдельных уравнений когда надо записать уравнение заполнив нулями те позиции в строке, в которых у нас переменные других уравнений в векторе неизвестных. В общем психоанализ какой то :) Спасибо еще раз, мне редко удается спросить то, не знаю что да еще что бы ответили.

[arseniiv]

3DRaven в сообщении #1119854 писал(а):

Для себя я это запомнил именно как "формирование происходит путем сложения уравнений одной производной, помноженных на вектора коэффициентов 1,0,-1 и сбора всего этого в матрицу-оператор". Потом уже подумал, что сам вектор 1,0,-1 (их много ведь, по одному на строку и все разные) наверное тоже можно покрутить и получить вообще что то другое, оперирующее самими функциями как объектами какого то пространства в котором эти векторы 1,0-1 порождают базис. Но это так, туманные глубины подсознания.

Ну а для сплайнов, удовлетворяющих другим условиям, по-другому будет. Тут не надо искать какой-то смысл кроме того, что это всё прямо следует из того, какие условия входят в эту систему. Это просто деталь алгоритма, вы её потом можете спокойно забыть, когда его реализуете.

[3DRaven]

Обещаю спокойно забыть :) Я уже реализовал все, это так, посттравматический синдром :)