Последовательность

[daogiauvang]

Дана последовательность $a_0=1, a_1=3$ и $a_{n+1}=6a_n-a_{n-1}$. Доказать, что $\frac{a^2_n -1}{2}$ является квадратом целого числа.

[kernel1983]

Может, решить рекуррентное соотношение?

[provincialka]

Да нет. Там иррациональности полезут.
В любом случае автору вопроса надо предоставить свои попытки решения.

[daogiauvang]

Я пытался и нашел общее решение $a_n$. Видно, выражение становится сложнее.
$x_n= (3+2\sqrt{2})^n, y_n=(3-2\sqrt{2})^n$, мы знаем $x_1+y_1=6, x_ny_n=1, x_1-y_1=4\sqrt{2}$.
мы знаем $a_n=\frac{x_n+y_n}{2}$. Задача уже решена.

[ewert]

provincialka в сообщении #1119776 писал(а):

Там иррациональности полезут.

Они сократятся.

[provincialka]

ewert
Вы посчитали? Вы трудоголик! В любом случае, тема для Карантина. Нет смысла пока стараться.

[arseniiv]

Что интересно, $s_n=\sqrt{(a^2_n -1)/2}$ удовлетворяет тому же соотношению.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

daogiauvang
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»