Ординалы и подмножества вещественной прямой

[arseniiv]

Известно ли что-нибудь об истинности утверждения «для всякого не более чем континуального ординала найдётся подмножество $\overline{\mathbb R}$, имеющее тот же порядковый тип»? Мне кажется, даже в предположении континуум-гипотезы оно не обязательно верно, но не могу найти контрпример.

Если всё совсем просто, подскажите, что стоит почитать/порешать, чтобы подойти.

[Someone]

В предположении [CH] утверждение верно. В предположении [¬CH] — неверно.

Теорема. Пусть $f\colon\omega_1\to\mathbb R$ — неубывающее отображение. Тогда существует такой ординал $\alpha_0<\omega_1$, что для всех $\alpha\in[\alpha_0,\omega_1)$ выполняется равенство $f\alpha=f\alpha_0$.

-- Сб апр 30, 2016 09:52:33 --

А доказать вложимость любого счётного ординала в $\mathbb R$ нетрудно. В самом деле, если такой невложимый счётный ординал существует, то среди них есть наименьший. И далее нужно рассмотреть случаи, когда он не предельный, и когда он предельный. И в обоих случаях показать, что он вкладывается в $\mathbb R$.

[arseniiv]

Ого, спасибо!

[mihaild]

Someone в сообщении #1119431 писал(а):

В предположении [CH] утверждение верно.

А как так? Взяли ординал $\alpha$, взяли монотонное отображение $f: \alpha \to \mathbb{R}$. Тогда каждому $x \in \alpha$ можно сопоставить непустой полуинтервал $[f(x), f(x + 1))$, эти полуинтервалы непусты и попарно не пересекаются - значит $\alpha$ не более чем счетно.

[Someone]

mihaild в сообщении #1119520 писал(а):

Someone в сообщении #1119431 писал(а):

В предположении [CH] утверждение верно.

А как так? Взяли ординал $\alpha$, взяли монотонное отображение $f: \alpha \to \mathbb{R}$. Тогда каждому $x \in \alpha$ можно сопоставить непустой полуинтервал $[f(x), f(x + 1))$, эти полуинтервалы непусты и попарно не пересекаются - значит $\alpha$ не более чем счетно.

А кто сказал, что $\alpha$ несчётно?

arseniiv в сообщении #1119414 писал(а):

для всякого не более чем континуального ординала

Ой! Вот уж настолько не ожидал увидеть такую формулировку, что и не увидел. Разумеется, должно быть "менее чем континуального".

[arseniiv]

А, ну вот, а то у меня несколько часов было ощущение недопонимания.

mihaild
Спасибо, вывод про несчётные действительно так прост, как я мог ожидать.