Диофантово уравнение

[Simple Fairy]

Здравствуйте, наткнувшись на одну задачу:
На что делится последовательность из суммы 4-х последовательных степеней троек, т.е.:
3^k+3^{k+1}+3^{k+2}+3^{k+3}; 3^k+3\cdot3^k+9\cdot3^k+27\cdot3^k = 40\cdot3^k И понятно, что будут все делители 40 + степень тройки по мере возрастания k, задача довольна тривиальна.
Я немного подумал, чтобы составить такую задачу, достаточно решить задачу:
$\frac{q^n-1}{q-1}$=40 И я не совсем понимаю, как решить её в натуральных числах, таким образом, можно составить множество задач по типу этих задач, поэтому мне и стало интересно, например: Может ли сумма последовательности натуральных степеней, натурального числа, быть равной (какому-то произвольному числу)
Я бы приложил свои идеи, если бы они были. (Заранее извиняюсь, если задача тоже простая и я просто не додумался до её ответа, т.к. не особо дружу с диоф. уравнениями)

[Andrey A]

Simple Fairy в сообщении #1119382 писал(а):

Может ли сумма последовательности натуральных степеней, натурального числа, быть равной (какому-то произвольному числу)

Может.

$1=q^0$
$m=(m-1)^0+(m-1)^1$
При $n>1$ придется подобрать $q$ из делителей $m-1$. Тут $\log_q$ может пригодиться или так: $\cfrac{\cfrac{\cfrac{40-1}{3}-1}{3}-1}{3}=1$ если повезет.
Лучше говорить "сумма степенного ряда", ноль - не натуральное.

[Simple Fairy]

Andrey A в сообщении #1119402 писал(а):

Simple Fairy в сообщении #1119382 писал(а):

Может ли сумма последовательности натуральных степеней, натурального числа, быть равной (какому-то произвольному числу)

Может.

Лучше говорить "сумма степенного ряда", ноль - не натуральное.

Да, в связи своей неопытностью, не додумался через ряд сделать:

$$\sum\limits_{i=0}^{\infty} q^i $$

А если исключить случай, когда q = a-1 и n = 2, как достаточно быстрым(или хотя бы оптимальным) способом определить,
может ли она быть суммой степенного ряда быть тому или иному числу?

[Andrey A]

Вы же сами приводите формулу $n$-го члена. Преобразуйте ее так чтобы в левой части осталась степень и прологарифмируйте обе части. Выразив $n$, подставляйте в формулу возможные $q$ - делители $a-1$, начиная с маленьких. Другого способа не знаю.

Upd
Кстати, это у Вас формула $n-1$-го члена.