Элемент площади поверхности сферы

[artcert]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, литературу, где есть подробный вывод формулы элемента площади поверхности сферы и площади сферы. Конкретно интересует вопрос, откуда в формуле для элемента поверхности $\sin\theta\partial\varphi\partial\theta$ множитель $\sin\theta$ (для сферы единичного радиуса)?

[ewert]

artcert в сообщении #1118950 писал(а):

откуда в формуле для элемента поверхности $\sin\theta\partial\varphi\partial\theta$ множитель $\sin\theta$ (для сферы единичного радиуса)?

Это -- радиус вращения вокруг вертикальной оси при данном азимутальном угле.

[artcert]

ewert, что это, я нашел, а вот зачем это (подробно) - нет.

-- 28.04.2016, 16:05 --

ewert,
...азимутальном угле.
Разве азимутальном, а не угле места?

[svv]

А Вы чувствуете, что нечто подобное обязано быть? Что площади участков земной поверхности «один градус широты на один градус долготы» в Гренландии и в Кении сильно различаются?

[artcert]

svv, к чему относится ваш вопрос?
Я спорить не собираюсь, мне нужно подробно разобраться, или ссылки на литературу, где это объясняется.

[svv]

Я решил для начала проверить, есть ли у Вас интуитивное понимание того, что этот коэффициент необходим. Привёл наглядный пример.

[arseniiv]

Ещё можно привести вывод не серьёзный, но на пальцах: $dV = dx\,dy\,dz = r\sin\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta$. С другой стороны, $dV=dS\,dr$. Значит, $dS|_{r=1} = \sin\theta\,d\varphi\,d\theta$.

[artcert]

Я думал, этот коэффициент учитывает сужение отрезка окружности по мере уменьшения(если считать от вертикали) угла места. Нужен строгий вывод для площади всей сферы и ее элемента.

[ewert]

artcert в сообщении #1118992 писал(а):

Нужен строгий вывод для площади всей сферы и ее элемента.

Не нужен.

Нужно просто понимать, что изменение азимутального угла на бесконечно малую величину $d\theta$ при постоянном полярном угле $\varphi$ даёт перемещение вдоль меридиана на расстояние $r\,d\theta$. Если же двигаться в перпендикулярном направлении, т.е. вдоль широты радиуса $r\sin\theta$, то изменение полярного угла на $d\varphi$ приводит, соответственно, к смещению на $r\sin\theta\cdot d\varphi$. Перемножьте эти два смещения -- и получите элемент площади.

Если же хочется всё-таки поизвращаться, то пожалуйста: $S=\iint\left|\frac{\partial\vec r}{\partial\theta}\times\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi\right|}d\theta\,d\varphi$ (поскольку $r=\left|\vec r\right|$ постоянно и, следовательно, угловые переменные параметризуют сферу). Выражайте декартовы координаты точки через сферичесие, дифференцируйте и возитесь с определителем.

[artcert]

Всем спасибо, вроде бы разобрался.