Корректность логики

[ansm10]

Уважаемые математики,

Вопрос относится просто к корректности рассуждения.

Дано уравнение. Его допустимое множество решений - функции. Предположим, что решение обладает свойством А. Тогда мы получаем единственную функцию Ф. Она удовлетворяет и свойству А, и является решением. Является ли Ф единственным решением?

(Ведь мы не можем утверждать, что Ф - единственное решение, пока мы еще не проверим случай, когда решение не обладает свойством А.)

[Anton_Peplov]

ansm10 в сообщении #1118860 писал(а):

мы не можем утверждать, что Ф - единственное решение, пока мы еще не проверим случай, когда решение не обладает свойством А.

Кроме этого, нужно проверить, нет ли других решений, обладающих свойством $A$.

[ansm10]

Цитата:

Кроме этого, нужно проверить, нет ли других решений, обладающих свойством $A$.

Зачем? Ведь я написал:

Цитата:

Предположим, что решение обладает свойством А. Тогда мы получаем единственную функцию Ф.

[Otta]

ansm10 в сообщении #1118860 писал(а):

Тогда мы получаем единственную функцию Ф.

Когда - тогда? Среди каких функций она единственна?

[ansm10]

Цитата:

Когда - тогда? Среди каких функций она единственна?

Пусть функция - решение и обладает свойством А. Исходя из этих предположений мы получаем единственную функцию Ф из всего допустимого множества решений, причем она на деле является и решением, и удовлетворяет свойству А.

(Перефразировал, короче...)

[Xaositect]

Либо Вы чего-то не говорите, либо Вы чего-то не понимаете.
Из существования решения, обладающего свойством $A$, не следует единственность решения, обладающего свойством $A$. И уж тем более не следует единственность решения вообще.

[Lia]

ansm10
Пользуйтесь кнопками "Цитата" или "Вставка" для корректного цитирования. Последняя предназначена для цитирования фрагмента сообщения.

[ansm10]

Перефразирую вопрос на конкретном примере.

Будем исходить из того, что может существовать бесконечное множество решений (хотя, конечно, это не так).

$dy/dx=f(y)$

Пусть функция $y=\varphi(x)$ обратима и является решением, тогда мы получает только одну функцию, которая и правда обратима, и правда является решением.

Теперь собственно вопрос. Ведь мы не рассматривали еще и необратимые функции, поэтому не можем считать, что данное решение единственно.

[Otta]

Вы извините, совершенно невозможно понять, что же Вы хотите спросить. Поэтому я напишу наугад, а Вы будете думать, об этом Вы спрашиваете или нет.

Вариант 1. Известно, что всякое решение обратимо. Нам удалось доказать, что некоторое решение обратимо и единственно. Единственно ли оно вообще? Да. Доказывать, что оно обратимо было роскошью, незачем.

Вариант 2. Нам удалось получить некоторое обратимое решение. Оно единственно среди обратимых решений. Нужно ли рассматривать необратимые решения? Уже из вопроса очевидно, что да.

А что хотели спросить Вы?

[Xaositect]

Ну давайте рассмотрим, например, $\frac{dy}{dx} = 2\sqrt[3]{y^2}$. У него решением будет $y = Cx^3$, решений бесконечно много, и они все обратимые, кроме $y = 0$.

[ansm10]

Вот уже максимально конкретно.





Почему Степанов считает, что тем самым доказана единственность решения (картинка два)?

[Otta]

Пусть уравнение $(22_2)$ таково, что $f(y)\ne 0$. Тогда оно имеет единственное решение, проходящее через точку $(y_0,x_0)$. Но (см. текст с довольно очевидными соображениями) при этом условии решение обратимо. Тогда обратное к нему будет решением исходного уравнения, проходящим через соответствующую точку, причем единственным.