Сечение шара гиперболическим параболоидом

[agapov]

Нужно вычислить объем фигур, образующихся в результате сечения шара (центр в начале координат, радиус 1) и гиперболическим параболоидом

$$z=x^2-y^2$$

. Пробовал тройным интегрированием в полярных (цилиндрических) координатах.
Интегрировал "1/8 часть фигуры" в области $\varphi$ от 0 до $\pi/4$
Вот что вышло:

$$\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}dz\int\limits_{0}^{{\frac{1}{2}}\arccos\frac{z}{1-z^2}}d\varphi\int\limits_{\sqrt{\frac{z}{\cos 2\varphi}}}^{\sqrt{1-z^2}}\rho d\rho$$

Есть тут ошибка? потому что дальше интегралы приводят к сложным интегралам...
Если считать в сферических координатах, уменьшится ли сложность?

[Munin]

А чем вас декартовы-то не устроили?

[provincialka]

А, кстати, сколько там будет этих фигур? На которые делится шар? И чем они друг от друга отличаются?

[agapov]

В декартовых пределы интегрирования будут ужасны скорее всего.
Обе фигуры и шар и гиперболоид симметричны относительно координатных плоскостей. еще дополнительные плоскости симметрии - биссектрисы квадрантов (октантов). Вся картина делится на одинаковые по объему 4 части (из соображений симметрии) эти части находятся между биссектральными плоскостями квадрантов (октантов). Нужно найти объем частей, "вырезаемых" из шара этим гиперболоидом. Я брал 1 октант и в нем половину то есть от 0 до пи на 4. И области интегрирования брал при каждом z от гиперболы до сферы. А потом интегрировал по z. потом надо на 8 умножить все, но это в конце. Поможете проверить этот путь? А в декартовых у вас как получилось?

-- 26.04.2016, 23:01 --

всего будет 5 фигур - 4 отрезаемые части и 5-я фигура - остаток от бедного шара)

[svv]

Погодите. Параболоид делит всё пространство на две области — «верхнюю» и «нижнюю», так? Делит ли он шар на большее количество областей?

[Munin]

agapov в сообщении #1118466 писал(а):

В декартовых пределы интегрирования будут ужасны скорее всего.

А вы проверяли? Я с трудом могу себе представить что-то ужаснее того, что вы написали.

-- 27.04.2016 01:40:01 --

agapov в сообщении #1118466 писал(а):

А в декартовых у вас как получилось?

Работаете - вы. А мы - помогаем.

[Red_Herring]

provincialka в сообщении #1118460 писал(а):

А, кстати, сколько там будет этих фигур? На которые делится шар? И чем они друг от друга отличаются?

Эта одна из тех задач, которые (по выражению Арнольда) легко решит детсадовец, но с трудом профессор математики.

[provincialka]

Red_Herring
Ура! Меня возьмут в детсад )

[agapov]

"нижняя" часть этого параболоида находится между биссектрисами, ближе к оси 0y, по обе стороны от оси x (то есть там, где

$$x^2<y^2$$

). А верхняя - также между биссектрисами, но ближе к оси 0х. (плоскость х0у параболоид пересекает по линиям у=х и у=-х). Конечно, физически эти мои 4 фигуры будут соединяться внутри шара, но для расчета я разделил на 4 симметричных части.

[provincialka]

agapov
Вам задачу непременно надо с помощью интеграла решать? Вам тут усиленно намекают, что ответ очевиден! И чтобы это заметить, надо как раз не делить фигуру на части а посмотреть на неё целиком!

[ewert]

agapov в сообщении #1118466 писал(а):

Обе фигуры и шар и гиперболоид симметричны относительно координатных плоскостей. еще дополнительные плоскости симметрии -

Все эти симметрии как раз не интересны, а интересна симметрия совсем другая и вполне очевидная -- в определённом смысле "центральная". Т.е. параболоид переходит в себя при повороте на 90 градусов и затем зеркальном отражении по вертикали.

[agapov]

да, он действительно так переходит в себя...

[arseniiv]

И при этом верхняя фигурина переходит в…

[provincialka]

(Оффтоп)

Брюки превращаются... превращаются брюки..

Этакий пространственный "инь-ян"

[arseniiv]

А на поверхности аккурат теннисный мячик.

Кстати, а вот длину кривой пересечения окружности и того параболоида найти уже не такая пустяковая задача!