Конденсатор в цепи постоянного тока

[Munin]

Тогда решите ещё три аналогичные задачи:

iou в сообщении #1117716 писал(а):

Есть цепь, состоящая из ЭДС, нагрузки и конденсатора (подключенных последовательно).

2) Есть цепь, состоящая из ЭДС, нагрузки и индуктивности, подключённых последовательно. Ключ размыкал цепь, и после этого замыкается.
3) Есть цепь, состоящая из ЭДС, нагрузки и конденсатора, подключённых параллельно. Ключ, подключающий ЭДС к цепи, был замкнут, и после этого размыкается.
4) Есть цепь, состоящая из идеального источника постоянного тока $\mathcal{I},$ нагрузки и индуктивности, подключённых последовательно. Ключ, закорачивающий источник тока, был разомкнут, и после этого замыкается.

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #1118152 писал(а):

2) Есть цепь, состоящая из ЭДС, нагрузки и индуктивности, подключённых последовательно. Ключ размыкал цепь, и после этого замыкается.

А после, через некоторое время, ключ размыкается - это тоже будет интересная задача для любознательного школьника.

(Оффтоп)

Припоминаю в связи с этим, как в детстве я сильно удивился, получив от обычной $4.5$-вольтовой батарейки для карманного фонарика весьма ощутимый "удар током": держал пальцами концы первичной обмотки трансформатора "220В -> 127В" и подключал-отключал их к батарейке. При подключении ничего особенного не наблюдается, а при отключении проскакивает искра и в пальцах явственно ощущается "электрический удар"; для полноты ощущений пальцы можно послюнявить

Позднее, в студенческом возрасте, узнал, что на производствах и в лабораториях в подобных ситуациях (когда человек неосторожно разрывает индуктивную цепь с током) бывают несчастные случаи со смертельным исходом Так что, имея дело с большими индуктивностями и токами, необходимо всё хорошенько продумывать и соблюдать определённую технику безопасности!

Видео на youtube с демонстрационным опытом: ток при замыкании и размыкании цепи с индуктивностью.

[iou]

2) После замыкания ключа в цепи появится ток, тогда магнитный поток $\Phi=LI$ начнёт меняться, поэтому имеет место индуцированная ЭДС, которая по закону ЭМИ Фарадея равна скорости изменения электрического тока, умноженной на коэффициент пропорциональности или индуктивность, но со знаком минус, поскольку индукционный ток имеет такое направление, чтобы ослабить причину изменения магнитного потока (по правилу Ленца), тогда $\mathcal{E}_{si}=-L\dfrac{dI}{dt}$, также мы знаем, что $\mathcal{E}=U_L(t)+I(t)R$ - $(1)$, где $U_L=-\mathcal{E}_{si}$, тогда $\mathcal{E}=L\dfrac{dI}{dt}+I(t)R$. Преобразуем равенство, чтобы в одной части было $dt$, а в другой -- остальное. Получим $dt=L\dfrac{dI}{\mathcal{E}-I(t)R}$.
Припишем знак интеграла слева и справа:
$\displaystyle\int L\dfrac{dI}{\mathcal{E}-I(t)R}=\int dt$
Разберемся с пределами интегрирования:
Для интеграла по времени пределы будут от $0$ (замыкание ключа) до настоящего момента $t$, то есть $\displaystyle\int\limits_0^t dt$.
Слева преобразуем $dI=-d\Big(\dfrac{\mathcal{E}}{R}-I(t)\Big)$, тогда пределы интегрирования будут от $0$ до $I(t)$, поскольку в начальный момент (и сразу после замыкания), тока в цепи нет, то есть $\displaystyle\int\limits_0^{I(t)} -\dfrac{L}{R} \dfrac{d\Big(\dfrac{\mathcal{E}}{R}-I(t)\Big)}{\dfrac{\mathcal{E}}{R}-I(t)}=\displaystyle\int\limits_0^t dt$
Справа получается $\displaystyle\int\limits_0^t dt=t\Bigr|_0^t=t.$
Слева получается $\displaystyle\int\limits_0^{I(t)} -\dfrac{L}{R} \dfrac{d\Big(\dfrac{\mathcal{E}}{R}-I(t)\Big)}{\dfrac{\mathcal{E}}{R}-I(t)}=-\dfrac{L}{R}\ln\Big({\dfrac{\mathcal{E}}{R}-I(t)}\Big)\Bigr|_0^{I(t)}=-\dfrac{L}{R}\Big(\ln{\dfrac{\mathcal{E}}{R}-I(t)\Big)+\dfrac{L}{R}\Big({\ln\dfrac{\mathcal{E}}{R}-0\Big)$
Возвращаясь к уравнению - умножим всё на $-\dfrac{R}{L}$, получаем
$-\dfrac{tR}{L}=\ln\dfrac{\mathcal{E}-I(t)R}{\mathcal{E}}$
$e^{-tR/L}=\dfrac{\mathcal{E}-I(t)R}{\mathcal{E}}$, но $I(t)R=U_R(t)$.
Выражая $U_R$ получим:

$$U_R(t)=\mathcal{E}(1-e^{-tR/L})$$

Таково поведение напряжения на резисторе. Подставляя $U_R(t)$ в $(1)$, получаем:

$$U_L(t)=\mathcal{E}e^{-tR/L}$$

Таково поведение напряжения на катушке.
3) Поскольку ключ замкнут (вероятно, долгое время), можно сделать вывод, что в цепи все установилось и конденсатор заряжен до напряжения $\mathcal{E}$.
Из параллельности подключения можно сделать вывод, что в любой момент времени напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе или $U_C(t)=U_R(t)$
По закону Ома напряжение на резисторе прямо пропорционально протекающему через резистор ток, $U_R(t)=I(t)R$.
Напряжение на конденсаторе можно выразить через заряд на обкладках конденсатора, то есть $U_C(t)=\dfrac{q(t)}{C}$.
Теперь ключ размыкается и конденсатор будет разряжаться. Пусть за небольшой промежуток времени $dt$ заряд на конденсаторе изменится на величину $dq<0$, тогда через резистор протекает заряд $-dq$, поэтому сила тока через резистор $I(t)=-\dfrac{dq}{dt}$, подставляя всё это в изначальное уравнение получаем:
$-\dfrac{dq}{dt}R=\dfrac{q(t)}{C}$
Перенося $dt$ в влево, а остальное вправо (или наоборот), получаем:
$-RC\dfrac{dq}{q(t)}=dt$
Теперь пишем знак интеграла слева и справа.
$\displaystyle\int dt=\displaystyle\int -RC\dfrac{dq}{q(t)}$
Преобразуем: $\displaystyle\int dt=-RC\displaystyle\int \dfrac{dq}{q(t)}$
Определимся с пределами интегрирования: с интегралом по времени понятно: от $0$ до $t$, то есть $\displaystyle\int\limits_0^t dt$
С интегралом по заряду: начальный момент - конденсатор заряжен, поэтому заряд $q_0$, а в момент времени $t$ заряд $q(t)$, тогда получаем $-RC\displaystyle\int\limits_{q_0}^{q(t)} \dfrac{dq}{q(t)}$
Теперь интегрируем. $\displaystyle\int\limits_0^t dt=t\Bigr|_0^t=t$
$-RC\displaystyle\int\limits_{q_0}^{q(t)} \dfrac{dq}{q(t)}=-RC\ln{q(t)}\Bigr|_{q_0}^{q(t)}=-RC\ln{q(t)}+RC\ln{q_0}$
Возвращаясь к уравнению:
$t=-RC(\ln{\dfrac{q(t)}{q_0}}$
$-\dfrac{t}{RC}=\ln{\dfrac{q(t)}{q_0}}$
$e^{-t/RC}=\dfrac{q(t)}{q_0}$
Получаем:

$$q(t)=q_0 e^{-t/RC}$$

Таково поведение заряда на обкладках конденсатора (получается, что он будет разряжаться бесконечно долго).
Из связи заряда и напряжения $q(t)=CU_C(t)$, получаем:

$$U_C(t)=\frac{q_0}{C} e^{-t/RC}$$

Таково поведение напряжения на конденсаторе.
4) Вот тут я не понимаю. Что будет при замыкании и зачем уточнение "Ключ, закорачивающий источник тока". Вроде как название "источник постоянного тока" говорит о том, что ток должен быть постоянным. Но он не может просто так взять и появиться на катушке (т.к. на ней рывком ток не меняется), а если он будет нарастать, то получится аналогично второй задаче. В общем, я запутался.

[Munin]

iou в сообщении #1118298 писал(а):

2) ...
Выражая $U_R$ получим:

$$U_R(t)=\mathcal{E}(1-e^{-tR/L})$$

Таково поведение напряжения на резисторе. Подставляя $U_R(t)$ в $(1)$, получаем:

$$U_L(t)=\mathcal{E}e^{-tR/L}$$

Таково поведение напряжения на катушке.

Ага, правильно.

iou в сообщении #1118298 писал(а):

3) ...
Получаем:

$$q(t)=q_0 e^{-t/RC}$$

Таково поведение заряда на обкладках конденсатора (получается, что он будет разряжаться бесконечно долго).
Из связи заряда и напряжения $q(t)=CU_C(t)$, получаем:

$$U_C(t)=\frac{q_0}{C} e^{-t/RC}$$

Таково поведение напряжения на конденсаторе.

Тут тоже всё верно. Но есть маленькая недоделочка: у вас осталась в итоговых формулах константа $q_0,$ а в "дано" её не было.

iou в сообщении #1118298 писал(а):

4) Вот тут я не понимаю. Что будет при замыкании и зачем уточнение "Ключ, закорачивающий источник тока". Вроде как название "источник постоянного тока" говорит о том, что ток должен быть постоянным. Но он не может просто так взять и появиться на катушке (т.к. на ней рывком ток не меняется), а если он будет нарастать, то получится аналогично второй задаче. В общем, я запутался.

Схема подразумевается вот такая:

\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm] \clip(-4.3,-12.58) rectangle (15.52,6.3); \draw(0,0.5) circle (0.5); \draw (0,0.75)-- (0.25,0.5); \draw (0,0.75)-- (-0.25,0.5); \draw (0,0.5)-- (0.25,0.25); \draw (0,0.5)-- (-0.25,0.25); \draw (0,1)-- (0,2); \draw (0,2)-- (2,2); \draw (0,0)-- (0,-1); \draw (0,-1)-- (4,-1); \draw (1,2)-- (1,0.75); \draw (1,0.75)-- (1.35,0.4); \draw (1,0.25)-- (1,-1); \draw (2,2.2)-- (2,1.8); \draw (2,1.8)-- (3,1.8); \draw (3,1.8)-- (3,2.2); \draw (3,2.2)-- (2,2.2); \draw (3,2)-- (4,2); \draw (4,2)-- (4,1.25); \draw (4,-0.25)-- (4,-1); \draw (4,0.75) arc (-90:90:0.25); \draw (4,0.25) arc (-90:90:0.25); \draw (4,-0.25) arc (-90:90:0.25); \end{tikzpicture}

Ток из источника тока сначала течёт по катушке (заданный - $\mathcal{I},$ лучше даже буква $\mathcal{J},$ - поэтому он не будет нарастать, а будет постоянным), а потом закорачивается через ключ. С другой стороны, ток, который течёт по катушке, сначала определяется источником тока, а потом тоже закорачивается через ключ, и больше от источника тока не зависит. Теперь сможете решить?

[iou]

4) Насколько я понимаю, после замыкания ключа источник тока можно убрать из цепи, поскольку он будет "поставлять" ток только в левый контур (где ничего нет), а запасенный ток в катушке будет расходоваться на нагрев резистора, тогда $I(t)R=-L\dfrac{dI}{dt}$.
$dt=-\dfrac{L}{R}\dfrac{dI}{I(t)}$
Припишем знак интеграла слева и справа:
$\displaystyle\int dt=-\dfrac{L}{R}\displaystyle\int \dfrac{dI}{I(t)}$
Слева предел интегрирования от $0$ до $t$, $\displaystyle\int\limit_0^t dt=t\Bigr|_0^t=t$
Справа предел интегрирования от $\mathcal{J}$ до $I(t)$, поскольку в начальный момент через катушку тёк постоянный ток, тогда: $-\dfrac{L}{R}\displaystyle\int\limits_{\mathcal{J}}^{I(t)} \dfrac{dI}{I(t)}=-\dfrac{L}{R}\ln{I(t)}\Bigr|_{\mathcal{J}}^{I(t)}=-\dfrac{L}{R}\ln{I(t)}+\dfrac{L}{R}\ln{\mathcal{J}}$
Возвращаясь к уравнению, получаем:
$t=-\dfrac{L}{R}\ln{\dfrac{I(t)}{\mathcal{J}}$
$-\dfrac{tR}{L}=\ln\dfrac{I(t)}{\mathcal{J}}$
$e^{-tR/L}=\dfrac{I(t)}{\mathcal{J}}$

$$\mathcal{J}e^{-tR/L}=I(t)$$

Таково поведение тока на катушке.

[Munin]

Замечательно!

Cos(x-pi/2) в сообщении #1118286 писал(а):

А после, через некоторое время, ключ размыкается - это тоже будет интересная задача для любознательного школьника.

Это, скорее, не столько задача, сколько вопрос. Тут не предмет для расчётов по формулам, а вопрос на физические рассуждения и интуицию, когда формулы "не работают".

[Dmitriy40]

Формулы можно вернуть если задаться вопросом (всегда было интересно) чем же ограничивается величина напряжения?

[Munin]

Напряжением пробоя воздушного промежутка :-)

[rustot]

емкостью любых проводников ненулевого размера, что приводит не к бесконечному напряжению, а лишь к очень быстрому его росту

[Munin]

rustot
Можем ли мы оба быть правы?

[rustot]

Если начинать идеализировать и отсекать возможности пробоев, механических разрушений и деформаций, то избавиться в этой идеализации от ненулевых индуктивности и емкости проводников можно только доидеализировав всю конструкцию до точки. Поэтому емкость и индуктивность это последняя преграда для бесконечностей :)

[Munin]

На практике как раз чаще всего случаются именно пробои в момент размыкания.

Мне рассказывали про большие ключи размыкания на крупных линиях электропередач. Этакий рубильник размером в метр, и когда его размыкают, искра бьёт до тех пор, пока он не расходится на максимальное расстояние.

[arseniiv]

Я как раз на видео одного такого разряда попал, немного погуляв туда-сюда после ссылки Cos(x-pi/2). Там, правда, сразу несколько разводили, и было несколько дуг. Большущих!

UPD. Ссылка: https://youtu.be/fxr3HooZsrM. (Сам не нашёл во второй раз, как туда попал, пришлось из истории выкопать.)

[Dmitriy40]

Munin, rustot, разумеется Вы правы оба. А причин и ещё немало есть, всё более и более "тонких", подумав полчасика их несложно найти.

(Оффтоп)

Размыкать кстати вполне можно и электронным способом, без механических перемещений, без искры. Схему всю залить в стекло (как изолятор) для исключения пробоя по воздуху. Витков в дросселе намотать побольше для снижения межвиткового напряжения чтобы и там тоже не пробивалось. Вот как уменьшить ёмкости сходу не придумывается, но они и так небольшие и вряд ли вносят существенный вклад. И как избавиться от излучения электромагнитной волны - а то как бы не она начнёт забирать львиную долю энергии (если она вообще её забирает) и ограничивать рост напряжения ...

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1118733 писал(а):

Размыкать кстати вполне можно и электронным способом, без механических перемещений, без искры.

И как будет устроен размыкающий элемент?

Dmitriy40 в сообщении #1118733 писал(а):

Схему всю залить в стекло (как изолятор) для исключения пробоя по воздуху.

В принципе, стекло пробить сложнее, чем воздух, но не невозможно. А вот осколки полететь могут.