Конденсатор в цепи постоянного тока

[iou]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
Хочу понять, как будет вести себя конденсатор в цепи постоянного тока. Есть цепь, состоящая из ЭДС, нагрузки и конденсатора (подключенных последовательно). Предположим, был замкнут ключ и тока в цепи не было, конденсатор разряжен. Вот я замыкаю ключ. Что произойдет? Конденсатор в цепи постоянного тока должен представлять из себя разрыв цепи, но он сначала должен зарядиться? То есть сначала ток протекает через конденсатор, заряжая его (постепенно нарастая), потом конденсатор заряжается до максимального напряжения и всё. Теперь ток не течет. Но у нас же есть источник ЭДС, поэтому $\cal E$$=U_c+IR$, но, насколько я понимаю, конденсатор зарядится до $\cal E$, поэтому $IR=0$ и поэтому ток перестанет протекать? Я правильно понимаю процесс или где-то сильно вру?

[DimaM]

Качественно все верно. Можно еще дифур написать, чтобы узнать зависимость напряжения и/или тока от времени.

[Munin]

Это называется не "цепь постоянного тока", а "переходной процесс". Их теории посвящён отдельный учебник.

[iou]

Спасибо.

[arbuz]

iou в сообщении #1117716 писал(а):

То есть сначала ток протекает через конденсатор, заряжая его (постепенно нарастая)...

Что значит "постепенно нарастая"?
Ток постепенно спадает, точнее по экспоненте.
Напряжение и заряд конденсатора растут сначала быстро, потом медленнее (единица минус экспонента)

[arseniiv]

iou
Если умеете решать линейные неоднородные дифуры, можете составить такой, просто приравняв ЭДС сумме напряжений на нагрузке и конденсаторе. Или можно решать однородное уравнение сразу для силы тока, продифференцировав предыдущее, но тогда найти одну константу придётся из неучтённой в этом уравнении, по сравнению с предыдущим, части физики (ЭДС не будет присутствовать): вначале, когда конденсатор не заряжен (про что уравнение для тока не знает), напряжение на нагрузке такое, как если бы конденсатора не было, и ток потому тоже.

[iou]

arbuz в сообщении #1117757 писал(а):

Что значит "постепенно нарастая"?
Ток постепенно спадает, точнее по экспоненте.
Напряжение и заряд конденсатора растут сначала быстро, потом медленнее (единица минус экспонента)

Понял, спасибо.

arseniiv, приму на вооружение, но вопрос задавался в рамках школьной физики.

[DimaM]

iou в сообщении #1117810 писал(а):

вопрос задавался в рамках школьной физики

Продвинутые школьники таки умеют решать дифуры .

[Munin]

В рамках школьной физики.

$\mathcal{E}=U_c+IR.$
Это равенство выполняется в каждый отдельный момент времени. Но величины, которые в него входят - переменные. Поэтому, их надо записать как функции от времени:
$\mathcal{E}=U_c(t)+I(t)\,R.$

Это одно уравнение, связывающее две величины. Поэтому, мы ищем второе уравнение. Это уравнение конденсатора. Для конденсатора нам известно соотношение, связывающее заряд и напряжение на конденсаторе: $Q=CU_c.$ Его можно продифференцировать, и получить соотношение, связывающее малую добавку заряда и малую добавку напряжения, если эту малую добавку заряда внести на конденсатор: $dQ=C\,dU_c$ (при дифференцировании, ёмкость считаем постоянной). Теперь это соотношение можно поделить на малое время, за которое на конденсатор вносится малая добавка заряда:
$\dfrac{dQ}{dt}=C\,\dfrac{dU_c}{dt}.$
А теперь заметим, что стоящая в левой части дробь $\dfrac{dQ}{dt}$ - это, по сути, ток, втекающий в конденсатор. Итого:
$I(t)=C\,\dfrac{dU_c(t)}{dt},$
и мы нашли искомое второе уравнение.

Это уравнение - дифференциальное уравнение. В школе не учат решать линейные дифуры, но учат решать дифуры с разделяющимися переменными. Избавимся от второй неизвестной:
$CR\,\dfrac{dU_c}{dt}=\mathcal{E}-U_c,$
и перенесём все $U_c$ в одну часть уравнения, а все $t$ - в другую часть (разрывая для этого дробь $\dfrac{dU_c}{dt}$):
$\dfrac{CR\,dU_c}{\mathcal{E}-U_c}=dt.$
Теперь припишем знак интеграла слева и справа:
$\displaystyle\int\dfrac{CR\,dU_c}{\mathcal{E}-U_c}=\int dt.$
Надо разобраться с пределами интегрирования. Интеграл по времени начинается в начальный момент времени $0,$ и заканчивается в текущий момент времени $t$ (так обозначать не совсем хорошо, но сойдёт): $\displaystyle\int\limits_0^t dt.$
А интеграл по напряжению на конденсаторе начинается с начального значения напряжения - в начальный момент времени, - и заканчивается напряжением в текущий момент времени. То есть, пишем вот так:
$\displaystyle\int\limits_0^{U(t)} \dfrac{CR\,dU_c}{\mathcal{E}-U_c}=\int\limits_0^t dt.$
В начальный момент времени конденсатор был разряжен, поэтому в нижнем пределе нуль. Это очень важный момент: у дифференциального уравнения будут разные решения при разных условиях.

Теперь надо взять интеграл. Слева преобразуем дифференциал: $dU_c=-d(\mathcal{E}-U_c)$:
$\displaystyle\int\dfrac{CR\,dU_c}{\mathcal{E}-U_c}=-CR\int\dfrac{d(\mathcal{E}-U_c)}{\mathcal{E}-U_c}=-CR\ln(\mathcal{E}-U_c)+\mathrm{const}.$
Подставляя пределы:
$\displaystyle\int\limits_0^{U(t)} \dfrac{CR\,dU_c}{\mathcal{E}-U_c}=-CR\ln(\mathcal{E}-U_c)\Bigr|_0^{U(t)}=-CR\ln(\mathcal{E}-U_c(t))+CR\ln(\mathcal{E}-0).$
Справа всё намного проще:
$\displaystyle\int\limits_0^t dt=t\Bigr|_0^t=t.$

Сводя всё обратно в уравнение, имеем:
$-CR\ln(\mathcal{E}-U_c(t))+CR\ln\mathcal{E}=t$
$-CR\ln\dfrac{\mathcal{E}-U_c(t)}{\mathcal{E}}=t$
$\ln\dfrac{\mathcal{E}-U_c(t)}{\mathcal{E}}=-t/CR.$
И теперь можно взять экспоненту от правой и левой части уравнения:
$\dfrac{\mathcal{E}-U_c(t)}{\mathcal{E}}=e^{-t/CR}$
$\mathcal{E}-U_c(t)=\mathcal{E}e^{-t/CR}$
$U_c(t)=\mathcal{E}(1-e^{-t/CR}).$

Вот это и будет, в итоге, поведение напряжения на конденсаторе:

$$\boxed{U_c(t)=\mathcal{E}(1-e^{-t/CR})}$$

Нарисуйте график, и вы увидите, что вначале напряжение было $0,$ а потом стремится к величине $\mathcal{E}.$ Но стремится асимптотически: конденсатор никогда не достигнет этого напряжения, а только будет к нему приближаться. Произведение $RC$ называется постоянной времени, и за каждый промежуток времени, равный $\tau=RC,$ падение напряжения на сопротивлении будет уменьшаться в $e\approx 2{,}7\ldots$ раз.

С одной стороны, физически довольно странно и неудобно, что напряжение никогда не станет таким, каким должно быть "в конце концов". С другой стороны, экспонента - функция, которая очень быстро приближается к своей асимптоте. Всего за время $10\tau$ разница между экспонентой и "в конце концов" достигнет 0,005 %. Этого вы уже не различите обычными приборами. А что это за время? Если у нас обычные лабораторные компоненты, то сопротивление имеет порядок ом, а ёмкость - порядок микрофарад. Так что, весь процесс произойдёт за считанные микросекунды. Глазом вы его отследить не успеете.

И очень скоро разница, которую показывает математика, уйдёт за пределы точности измерения любых приборов, какие бы вы ни приготовили. Если вы будете стремиться добиться большей точности, то у вас постепенно потеряют смысл те формулы и приближения, с которых вы начинали, и на которые полагались. Например, нельзя будет считать ЭДС источника постоянной и стабильной величиной. Нельзя будет считать, что ток течёт непрерывно: он состоит из отдельных электронов. Нельзя будет пренебречь индуктивностью проводов. И так далее. Поэтому на практике нет смысла мучиться с таким расхождением математики и реальности. И обычно пользуются приближением, что через несколько постоянных времени процесс заканчивается в своём окончательном состоянии - можно даже взять погрешность в одну сотую или одну тысячную, обычно этого хватает.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1117780 писал(а):

Если умеете решать линейные неоднородные дифуры, можете составить такой, просто приравняв ЭДС сумме напряжений на нагрузке и конденсаторе. Или можно решать однородное уравнение сразу для силы тока, продифференцировав предыдущее, но тогда найти одну константу придётся из неучтённой в этом уравнении, по сравнению с предыдущим, части физики (ЭДС не будет присутствовать): вначале, когда конденсатор не заряжен (про что уравнение для тока не знает), напряжение на нагрузке такое, как если бы конденсатора не было, и ток потому тоже.

Можно через функцию Грина, если линейным диффуром хотим обойтись.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1117875 писал(а):

В школе не учат решать линейные дифуры, но учат решать дифуры с разделяющимися переменными.

Не знал, но было бы неплохо. (И не заметил, что можно разделить переменные, перейдя к $U_c$, эх. )

[rustot]

Нет, по-моему в таком виде в школе решать не учат, насколько я помню свою школу, там учили просто "угадывать" некоторые популярные решения, пользуясь шаблонами про производные экспоненты и синуса

[DimaM]

Можно "угадать" частное решение $U_{c0}=\mathcal{E}$ и записать общее решение в виде $U_c=U_{c0}+U$. Тогда для $U$ получается однородное уравнение знакомого [некоторым] школьникам вида.

[Munin]

Ну по крайней мере, решение дифура с разделяющимися переменными настолько просто, что объяснить его школьнику не составит труда. Собственно, объяснять-то тут и нечего.

А вот идеология про частные и общие решения - уже требует знания линала, как мне кажется.

[iou]

Munin, большое спасибо за развернутый ответ, теперь понятно, почему всё именно так.