Вопрос по диагонализации эрмитовой матрицы

[Krivoi]

Есть эрмитова матрица$A$, которую можно диагонализовать в виде $A=UDU^+$, где $U$ - унитарная, а $D$ - диагональная матрицы.
Есть вполне положительное отображение этой матрицы (сомневаюсь, что факт положительности пригодится, но всё же), которое задаётся набором операторов $\{L_j\}$ следующим образом: $\tilde{A}=\sum_j{L_jAL_j^+}$.
Результирующая эрмитову матрицу можно также диагонализовать: $\tilde{A}=\tilde{U}\tilde{D}\tilde{U}^+$.
Вопрос: можно ли как-нибудь аналитически выразить $\tilde{U}$ и $\tilde{D}$ через $U$, $D$ и $\{L_j\}$?
Интуиция говорит, что должен быть способ, а на бумажке этого сделать не выходит.

[ewert]

Krivoi в сообщении #1117698 писал(а):

Вопрос: можно ли как-нибудь аналитически выразить $\tilde{U}$ и $\tilde{D}$ через $U$, $D$ и $\{L_j\}$?

Пусть исходная матрица просто единичная, а сумма состоит только из одного слагаемого. Вопрос: можно ли аналитически выразить разложение матрицы $L\,L^*$ только через саму $L$ и единичную матрицу?...

[Krivoi]

ewert
С одним слагаемым решение тривиальное даже в случае неидиничной матрицы:
$\tilde{U}\tilde{D}\tilde{U}^+=LUDU^+L^+$,
откуда
$\tilde{U} = LU$ и $\tilde{D}=D$

[ewert]

Krivoi в сообщении #1117721 писал(а):

откуда
$\tilde{U} = LU$

и почему она унитарна?

[Krivoi]

ewert
Отображение вполне положительное, поэтому в случае одного слагаемого матрица $L$ должна быть унитарной, а произведение двух унитарных матриц - это снова унитарная матрица.

[DeBill]

Krivoi
Пусть $A, D$ и $U$ единичные (это, на самом деле, общий случай: к нему можно, вроде, прийти переобозначениями).
Выбирая $L_j$ - убогими (с одним ненулевым элементом всего то), можно состряпать любую эрмитову. Потому Ваш вопрос можно переформулировать так: зная элементы эрмитовой матрицы $\tilde{A}$, слабо ли найти ее собственный базис? Интуиция говорит: не слабо, однако, повозиться придется...

[Krivoi]

DeBill
В частном случае, когда на входе единичный матрица, а $\{L_j\}$ эрмитовы, на выходе получается также единичная матрица. Возможно, с точностью до коэффициента, но моё вполне положительное отображение таково, что
$\sum_j{L_j^+L_j}=I$