Исследовать кривую второго порядка

[Charlz_Klug]

Проверьте, пожалуйста, решение.

Задача:
Исследовать кривую второго порядка $x^2 + xy + 3y^2 + 4x + 2y + 1 = 0$

Решение:
Определяем тип кривой: $\delta = \begin{vmatrix} 1 & \frac {1} {2}\\ \frac {1} {2} & 3 \end{vmatrix} = 3 - \frac {1} {4} = \frac {12 - 1} {4} = \frac {11} {4}$, поскольку $\delta > 0$, то заданная кривая эллиптического типа. Определим её вид: $s = 1 + 3 = 4$ и $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \frac {1} {2} & 2 \\ \frac {1} {2} & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 + 1 + 1 - (12 + \frac {1} {4} + 1) = 5 - (13 + \frac {1} {4}) = - 8 - \frac {1} {4} = - \frac {33} {4}$, тогда $s \Delta = 4 \cdot (- \frac {33} {4}) = -33 < 0$, а это значит, что заданная кривая действительный эллипс.

Найдём коэффициенты $k_1$ и $k_2$ при $x^2$ и $y^2$ соответственно, для приведённого уравнения:
Решим систему уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} k_1 + k_2 &=& s\\ k_1\cdot k_2 &=& \delta\\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} k_1 + k_2 &=& 4\\ k_1\cdot k_2 &=& \frac {11} {4}\\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} k_1 &=& 4 - k_2\\ (4 - k_2)\cdot k_2 &=& \frac {11} {4}\\ \end{array} \right. \Rightarrow $$

$k_2^2 - 4k_2 + \frac {11} {4} = 0$. Дискриминант: $D = 16 - 4 \cdot \frac {11} {4} = 16 - 11 = 5$. Получаем $k_{2,1} = \frac {4 - \sqrt{5}} {2}$ и $k_{2,2} = \frac {4 + \sqrt{5}} {2}$. Поскольку коэффициент $k_1$ должен быть меньше другого, то $k_1 = \frac {4 - \sqrt{5}} {2}$, тогда $k_2 = \frac {4 + \sqrt{5}} {2}$.

Теперь ищем угол поворота канонической системы координат относительно заданной системы координат: $\tg{\alpha} = \frac {\frac {1} {2}} {\frac {4- \sqrt{5}} {2} - 3} = - \frac {1} {2+ \sqrt{5}}$

Найдём свободный член приведённого уравнения:
$\frac {\Delta} {s} = - \frac {33} {4} \cdot \frac {1} {4} = - \frac {33} {16}$

Составим приведённое уравнение:
$\frac {4 - \sqrt {5}} {2} x^2 + \frac {4 + \sqrt{5}} {2} y^2 - \frac {33} {16} = 0$. Отсюда получаем каноническое уравнение эллипса: $\frac {x^2} {\frac {33} {8(4-\sqrt{5})}} + \frac {y^2} {\frac {33} {8(4+\sqrt{5})}} = 1$.

Найдём центр эллипса:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + \frac {1} {2} y + 2&=& 0\\ \frac {1} {2}x + 3y + 1&=&0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} 2x + y + 4&=& 0\\ -2x -12y -4&=&0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow y = 0 $. А значит, $x = -2$. Центр эллипса находится в точке $(-2;0)$.

[Munin]

Как проверить решение самостоятельно.

Составьте уравнение эллипса с найденными вами центром, полуосями и углом поворота. И сравните его с исходным уравнением.

И вообще, изучайте, постоянно используйте, и самостоятельно придумывайте способы самопроверки. Как для задачи в целом, так и для промежуточных результатов.

[svv]

Charlz_Klug в сообщении #1117268 писал(а):

Найдём коэффициенты $k_1$ и $k_2$ при $x^2$ и $y^2$ соответственно, для приведённого уравнения:
Решим систему уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} k_1 + k_2 &=& s\\ k_1\cdot k_2 &=& \delta\\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} k_1 + k_2 &=& 4\\ k_1\cdot k_2 &=& \frac {11} {4}\\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} k_1 &=& 4 - k_2\\ (4 - k_2)\cdot k_2 &=& \frac {11} {4}\\ \end{array} \right. \Rightarrow $$

$k_2^2 - 4k_2 + \frac {11} {4} = 0$.

Здесь стандартная методика проще: составляем уравнение $k^2-sk+\delta=0$ (можете один раз проверить в общем виде, что оно будет именно таким).

Вычислительные ошибки у Вас тоже есть.

[Charlz_Klug]

Munin в сообщении #1117341 писал(а):

Как проверить решение самостоятельно.

Составьте уравнение эллипса с найденными вами центром, полуосями и углом поворота. И сравните его с исходным уравнением.

Спасибо. Помогло. Сделал как Вы сказали - обнаружил что допустил ошибку.

svv в сообщении #1117362 писал(а):

Здесь стандартная методика проще: составляем уравнение $k^2-sk+\delta=0$ (можете один раз проверить в общем виде, что оно будет именно таким).

Проверил - действительно, всё так.

svv в сообщении #1117362 писал(а):

Вычислительные ошибки у Вас тоже есть.

Да, допустил ошибку. Для нахождения свободного члена надо было выполнить следующее: $\frac {\Delta} {\delta} = - \frac {33} {4} \cdot \frac {4} {11} = -3$. Подставляем полученное значение в приведённое уравнение кривой: $\frac {4- \sqrt{5}} {2} x^2 + \frac {4 + \sqrt {5}} {2} y^2 -3 = 0$. Если привести к каноническому виду, то получим: $\frac {x^2} {\frac {6} {4-\sqrt{5}}} + \frac {y^2} {\frac {6} {4 + \sqrt{5}}} = 1$

Теперь выполняем обратные преобразования с целью проверки. Для начала сделаем преобразование поворот на угол. $x = X \cos{\alpha} + Y \sin{\alpha}$ и $y = X \sin{\alpha} - Y \cos{\alpha}$. Найдём $\cos{\alpha} = \frac {1} {\sqrt{\tg^2{\alpha} + 1}} = \frac {1} {\sqrt{10-4 \sqrt{5}}}$ и $\sin{\alpha} = \frac {\tg{\alpha}} {\sqrt{\tg^2{\alpha} + 1}} = \frac {2-\sqrt{5}} {\sqrt{10-4\sqrt{5}}}$. Упростим каноническое уравнение $\frac {x^2} {\frac {6} {4-\sqrt{5}}} + \frac {y^2} {\frac {6} {4 + \sqrt{5}}} = 1 \Rightarrow x^2(4-\sqrt{5}) + y^2(4+\sqrt{5}) - 6=0$. Подставляем $x = X \frac {1} {\sqrt{10-4\sqrt{5}}}+Y\frac {2-\sqrt{5}} {\sqrt{10-4\sqrt{5}}}$ и $y = X\frac {2-\sqrt{5}} {\sqrt{10-4\sqrt{5}}} + Y\frac {1} {\sqrt{10-4\sqrt{5}}}$.

Получаем:
$(X \frac {1} {\sqrt{10-4\sqrt{5}}}+Y\frac {2-\sqrt{5}} {\sqrt{10-4\sqrt{5}}})^2(4-\sqrt{5}) + (X\frac {2-\sqrt{5}} {\sqrt{10-4\sqrt{5}}} + Y\frac {1} {\sqrt{10-4\sqrt{5}}})^2(4+\sqrt{4+\sqrt{5}}) - 6 =0$
Раскрыв скобки получаем: $2X^2+2XY+6Y^2-6=0 \Rightarrow X^2+XY+3Y^2-3=0$. Теперь выполняем параллельный перенос: $X = X'+2$ и $Y = Y'$:

$(X'+2)^2 + (X'+2)Y' + 3Y'^2 - 3 = 0 \Rightarrow X'^2+X'Y' + 3Y'^2+4X'+2Y'+1=0$
Значит, задача была решена правильно.

Munin в сообщении #1117341 писал(а):

И вообще, изучайте, постоянно используйте, и самостоятельно придумывайте способы самопроверки. Как для задачи в целом, так и для промежуточных результатов.

С математикой понятно: тут всё строго и, вроде как, можно найти способы проверки. А как быть с физикой? Там же постоянно чем-нибудь пренебрегают?

[Munin]

Charlz_Klug в сообщении #1117854 писал(а):

С математикой понятно: тут всё строго и, вроде как, можно найти способы проверки. А как быть с физикой? Там же постоянно чем-нибудь пренебрегают?

В физике можно отдельно проверять математические выкладки. А кроме этого, есть проверки на "физический смысл" и "реалистичность". Нужно грубо оценить, что примерно должно получиться, и исходя из этого - сравнивать с результатами ваших точных вычислений. Например, если вы толкаете вагон рукой, то он не должен у вас разогнаться за секунду - что-то неправильно. Или наоборот, если пинаете мячик ногой, то будет неправильно, если он будет разгоняться тысячу лет, или полетит в итоге в другую сторону.

Чем больше вы делаете таких "грубых оценок", всегда и в любых задачах, тем лучше у вас развивается физическая интуиция. Для вас начинают быть "естественными" вещи, которые вы могли раньше получить только с помощью вычислений. Например, с каким ускорением Луна падает на Землю? Сантиметры на секунду в квадрате. Сколько времени луч фонарика (или радиолокатора) идёт до Луны, отражается, и возвращается обратно? Около трёх секунд. С какой скоростью вы можете махнуть рукой? Единицы-десятки метров в секунду. Какова толщина листа бумаги? 0,1 миллиметра. За какое время заряжается $RC$-цепочка, спаянная из обычных компонентов? Порядка микросекунд. А за какое время переключаются сигналы в микросхемах? Порядка наносекунд. И так далее...

[Charlz_Klug]

Munin, спасибо за ответ!