Последовательность

[VAL]

Собрался поместить приведенную ниже последовательность (и еще несколько родственных ей) в OEIS.
Но решил прежде запостить ее сюда, как задачку.
Я знаю, что некоторых форумчан раздражают формулировки "найти закономерность", "продолжить последовательность" etc. Поэтому хотел, было, спрятаться от них в головоломный раздел. Но передумал. Все же, математики здесь гораздо больше, чем загадки.

Итак, продолжите последовательность:

9, 245, 128, 125, 32, 214375, 250, 9, 2057, 2197, 5021875, 256,658503, 85184

PS: Можно, разумеется, вместо продолжения объяснить принцип. Но тогда первый решивший лишит удовольствия остальных. Искренне надеюсь, что они (или хотя бы он) найдутся.

[arqady]

Нашёл закономерность: вижу числа. $\sqrt2$ - число. Оно и будет продолжением.
Прошу Вас, объясните мне, где здесь математика в Вашей задаче?
Ведь по-сути Вы предлагаете мне догадаться до той закономерности, которую Вы имеете в виду (убеждён, что она очень красивая) без какой бы то ни было индикации для этого.
Типа: догадайся, о чём я сейчас подумал.
Удовольствие от решения математической задачи, по моему, в том, что она была точно сформулирована и правильно подумав удалось её решить.

[Yadryara]

Причём, все числа либо $a^b$, либо $a^bc^d$ с натуральными $a, b, c, d \ge 2$.

Что-то теоретико-числовое просится...

[arqady]

$250$ не выполняет Вашу закономерность.

[Yadryara]

$a$ и $c$ — простые.

Вся факторизация:

$9 = 3^2$

$245= 5\cdot7^2$

$128=2^7$

$125=5^3$

$32=2^5$

$214375=5^4\cdot7^3$

$250=2\cdot5^3$

$9=3^2$

$2057=11^2\cdot17$

$2197=13^3$

$5021875=5^5\cdot1607$

$256=2^8$

$658503=3^3\cdot29^3$

$85184=2^6\cdot11^3$


-- 22.04.2016, 10:03 --

Да, $b\ge 1, 1\le d \le 3$.

[VAL]

arqady в сообщении #1117393 писал(а):

Нашёл закономерность: вижу числа. $\sqrt2$ - число. Оно и будет продолжением.
Прошу Вас, объясните мне, где здесь математика в Вашей задаче?
Ведь по-сути Вы предлагаете мне догадаться до той закономерности, которую Вы имеете в виду (убеждён, что она очень красивая) без какой бы то ни было индикации для этого.
Типа: догадайся, о чём я сейчас подумал.
Удовольствие от решения математической задачи, по моему, в том, что она была точно сформулирована и правильно подумав удалось её решить.

Я ведь заранее предупредил, что задачка - на любителя.

Задачи (загадки) на нахождение закономерности многажды обсуждались на dxdy.
1. Полностью согласен с тем, что такая постановка не строга.
2. Согласен, что формально можно обосновать любое продолжение.
А вот с тем, что на основании пунктов 1 и 2 такие задачи не имеют права на существование, категорически не согласен.

Разумеется, в ЕГЭ такие задачи включать не следует.
Но это не значит, что они плохи для олимпиадного раздела dxdy, где за верное решение ничего не дают, а за ошибочное ничего не отбирают.

PS: Не знаю, как Вы, а я часто прибегаю к поиску закономерности при решении математических задач, условие которых вполне корректно и напрямую с поиском закономерности не связано. Естественно, речь идет о достаточно трудных задачах, которые не удается раскрутить прямым рассуждением. При отсутствии конструктивных идей я обычно начинаю исследовать частные случаи. Довольно часто эту помогает увидеть какие-то закономерности, выдвинуть гипотезы и сдвинуться с мертвой точки.

PPS: Как-то я уже высказывался о том, что, с моей точки зрения, определяет красоту задачи. Сейчас найду цитату (там этот вопрос поднимался в связи с обсуждением конкретной задачи):

Цитата:

А в чем же тогда красота?!
Вопрос, конечно, ... ну, в общем, где рядом с вопросом о смысле жизни.

Поэтому претендовать на монополию владения окончательным ответом не буду Но мнение выскажу.
На мой взгляд, среди критериев этой самой красоты выделяются три:

1. Неожиданность ответа. Это не про ММ50. Здесь для меня эталон - задача про сто узников и сто коробок.
2. Изящность решения. По этому критерию ММ50 смотрится неплохо. Но есть примеры и поярче.
3 (по номеру, но не по значимости). Возникновение порядка из хаоса. А вот здесь ММ50 очень хороша.

Третий пункт - это, как раз, поиск закоомерности.

[arqady]

VAL в сообщении #1117438 писал(а):

Третий пункт - это, как раз, поиск закоомерности.

Согласен, что это иногда сильно помогает.
Такое бывает в задачах на последовательности. Когда нужно, например, доказать некоторое экзотическое свойство последовательности, определённой не менее экзотическим способом.
Находим несколько первых членов последовательности, догадываемся до формулы общего члена, доказываем её и проверяем то, что нужно доказать.
Замечательно! Правильно подумали и - решили задачу.
Здесь же, по моему, не видно для чего и в какую сторону искать закономерность.
Впрочем, мне кажется я понял, что это дело вкуса. Спасибо!

[VAL]

Пока отвечал, что у нас с Вами разные ММ50, Ваше сообщение пропало

Цитата:

Автор любит такие задачи...

Не знаю, какие "такие". Но люблю

Я понял, что от меня ждут намеков. Намекаю:
Для решения данной задачи требуется некоторая математическая эрудиция. Впрочем, как всегда, недостаток эрудиции может быть компенсирован умением гуглить (в широком смысле).

[VAL]

A272234

[grizzly]

abc-гипотеза у меня была основной (единственной) версией. Не докрутил, но попытался.

[VAL]

grizzly в сообщении #1118021 писал(а):

abc-гипотеза у меня была основной (единственной) версией. Не докрутил, но попытался.

А я именно от Вас ждал правильной версии (учитывая Вашу активность в соответствующей теме).

Возможные пути решения мне виделись такими:

1. Что роднит все приведенные числа? Все они имеют небольшой (по сравнению с исходным числом) радикал. Ну а от чисел с малым радикалом прямой путь к abc-тройкам.

2. Замечаем, что 9 встречается в последовательности дважды. На 1-м и на 8 местах. 1 + 8 = 9 - первая abc-тройка.

3. (самый тупой способ). Набираем в строке запроса OEIS небольшие (например, не более чем трехзначные) числа из последовательности. Обязательно через пробел. Среди нескольких найденных последовательностей обнаруживаем A120498, A130510, A225426...