Фигура с единичными отрезками по всем направлениям

[fractalon]

Сразу скажу, что нужна помощь больше с переводом с английского, чем с решением. То есть решение есть, но на английском. Я почти полностью с ним разобрался, но главный нюанс непонятен..

В одной книге на английском языке встретил такую теорему: можно построить множество $S \subset {\mathbb R}^2$ сколько угодно малой площади, содержащее в себе единичный отрезок по любому направлению.
(https://www.math.cmu.edu/~af1p/Teaching/AdditiveCombinatorics/allnotes.pdf, страницы 12-13)

Дальше приводится доказательство, в виде алгоритма построения фигуры. Берут единичный квадрат со стороной 2. Из центра испускают лучи, которые, втыкаясь в стороны квадраты, делят эти стороны на много отрезков. Дальше говорится, что вот, этот квадрат содержит единичные отрезки во всех направлениях, а если каждый из полученных делением треугольников как угодно сдвигать, не поворачивая, то площадь можно изменить, а условие будет продолжать выполняться. Значит, надо сдвинуть их так, чтобы было много наложений и суммарная площадь в итоге получилась маленькая.

Это то, что я смог адекватного перевести с английского.
Дальше описывается процедура наложения этих самых треугольников.

Цитата:

We describe the translations for the bottom triangle, but the same procedure may be plied to the other three, resulting in a solution to the problem. For any integer $p \ge 2$ consider the sequence of triangles $\Delta_2, \Delta_3, \dots, \Delta_p$, where each is a right isosceles triangle, and $\Delta_k$ has height $\frac{k}{p}$, base into partitioned into $2^{k-2}$ segments, and a line joining each segment endpoint to the common vertex.
Thus triangle $\Delta_k$ consist of $2^{k-2}$ elementary triangles. Each $\Delta_{k+1}$ can be constructed from $\Delta_k$ by bisecting each of the elementary triangles of $\Delta_k$ through their base, and scaling each so that it now has height $k + 1$. This will create a series of overlapping triangles that can be translated to construct $\Delta_{k+1}$. This process is known as “bisection and expansion”. By starting with triangle $\Delta_2$, and then using this technique repeatedly, after $p-2$ steps, we will have $2^{k-2}$ overlapping elementary triangles which can be translated to form $\Delta_p$. Analysis of the process of bisection and expansion shows that each step increases the total area by at most $\frac{1}{p^2}$ and so at the final step the constructed object $S_1$ has area $\frac{2}{p}$. Choosing $p>\frac{8}{\varepsilon}$ will make the are of $S_1$ less than $\frac{\varepsilon}{4}$.

Что я понял:

• Рассматриваем один из четырёх треугольников, на которые разбивается квадрат, с остальными поступим аналогично;
• Есть итеративная процедура построения треугольников одного за другим - последний будет ответом;
• Каждый треугольник $\Delta_k$ "is right isosceles" с высотой $\frac{k}{p}$ и его основание разбито лучами из одной вершины на $2^{k-2}$ частей;
• Каждый новый треугольник строится из предыдущего делением каждой его части (на которые разбивают его исходящие из точки лучи) ещё на две, и потом ещё масштабирования до достижения высоты $\frac{k+1}{p}$;
• "it now has $k+1$" вместо "it now has $\frac{k+1}{p}$" и "after $p-2$ steps, we will have $2^{k-1}$" вместо "after $p-2$ steps, we will have $2^{p-1}$", скорее всего, просто опечатки.

Что непонятно:

• что такое "right isosceles"? "isosceles" - равнобедреный; вроде бы, на wolframmath указано, что "right isosceles" - это прямоугольный равнобедренный треугольник, обращённый острыми углами вправо. Никак не помогает. Так ли это или имеется ввиду какая-то особая "правая равнобедренность"?
• где в этом отрывке текста описан именно сдвиг элементарных треугольников, на которые исходный разбивается?
• связано с предыдущим пунктом - как происходит масштабирование до всё большей и большей высоты? Интуитивно кажется, что в этом масштабировании и зашито возникновение перекрытия, то есть при разрастании элементарные треугольники упираются друг в друга и взаимопоглащаются. Но в тексте $\Delta_k$ описано как "triangle", то есть это цельный треугольник... непонятно...
• что за такой анализ, который позволяет доказать, что каждый шаг увеличивает площадь не более чем на $\frac{1}{p^2}$? Это сложно или просто громоздко для описания всех выкладок? Описано где-нибудь подробно?

[Someone]

Вроде бы, это построение публиковалось в журнале "Квант". Но я, к сожалению, не могу указать ссылку.

[Dan B-Yallay]

Может, эта статья поможет разобраться и без перевода: Задача об иголке

[fractalon]

Сам только что нагуглил статью, но там всё описание построения умещено в слово "действительно", а ссылок на русскоязычные источники всё равно нет. Квант с Безиковичем тоже не гуглится.

-- 20.04.2016, 21:10 --

Нашёл подробное описание с рисунками в аналогичной статье английской википедии. Сейчас буду разбираться. Всем спасибо!

[Someone]

https://vimeo.com/126604801 — видео,
http://kvant.mccme.ru/1973/04/o_vrashchenii_otrezka.htm — статья в журнале "Квант".

[fractalon]

Большое спасибо! Прекрасная статья. Всё ясно и доходчиво.