Пусть

- самоспоряжённый оператор на

мерном Гильбертовом пространстве

. Спектральная теорема утверждает, что

может быть разложен в след. сумму:

где

-

различных собственных значений

, а

- соответствующие им ортогональные проекции на собственные подпространства

. При этом само пространство раскладывается в прямую сумму:

Можно показать, что существует эффективный алгоритм, который вычисляет спектральное разложение в таком формате:
для любого

существуют проекции

и (вычислимые) действительные числа

, что

Эффективный алгоритм, в понятии теории вычислимости, состоит из конечного числа механических инструкций, всегда завершается, всегда выводит правильный ответ, не основан на эвристике. Подробнее смотри в Вики.
Ясно, что спектр оператора или матрицы в общем случае невычислим. Всвязи с чем некоторые алгоритмы испытывают сложности. Но в приближённом формате многое становится возможным.
Какие есть хорошие ссылки по предмету? В частности, интересует теорема в полном приближённом формате, то есть учитывающая вычисление приближённых собственных векторов, собственных подпространств (читай, базисов) и т. д. Приближение в смысле какой-либо метрики, лучше в смысле самых естественных метрик (с помощью операторной нормы, например, как это сделано выше).