Подгруппа дробно-линейных преобразований

[PSP]

Алексей К.

Насколько я помню,для дробно-линейных преобразований характерно , что окружности одного диаметра могут преобразоваться в окружности другого диаметра (и даже бесконечного диаметра - т.е. прямые)
Ищется такая подгруппа, в коией существует такой диаметр,который инвариантен.Этот диаметр выделен.
Я понятно объяснил ?

[Алексей К.]

Нет.
Ничего нового Вы сейчас не сказали.

Мне казалось, что я понятно объяснил.
Мне казалось, что понятно объяснил Я.

Я указал искомые преобразования.
Я указал искомые Вами преобразования.

Я не выделил дополнительно отдельной строкой, что считаю движение и симметрию единственными такими преобразованиями?

Заполните поверхность ближайшего стола 10-рублёвыми монетами.
Потом представьте себе аж целую плоскость, ими же заполненную.
Потом лягте спать.
Вам должна присниться преобразованная плоскость, в которой все эти монетки остались со своим диаметром.
Во сне организм отдыхает, и у Вас наступит ясность --- что это за преобразование.
Поскольку монетки остались инвариантными, не забудьте перед просыпом сгрести их в заранее заготовленный мешок. Думаю, пригодятся.

[PSP]

Алексей К.
Вы не правы.
Подгруппа найдена.

[arseniiv]

PSP в сообщении #1115636 писал(а):

Этот случай исключается даже у Шабата-Лавреньтева в их ТФКП,так что я тоже так могу.

Тогда вы можете получить меньше преобразований, чем возможно. У всех манипуляций есть смысл и последствия.

Алексей К.
Я вот тоже думаю, что PSP нужны изометрии (ну или движения, кому как приятнее), но почему-то они ему не нравятся.

[PSP]

arseniiv
Дело не в том,нравиться или нет,а в том,что показывает расчёт.
А результаты такие :
1.Искомое преобразование полностью определяется 3-мя точками исходника и 3-мя соответствующими точками образа.
2.На эти три точки как исходника,так и образа можно наложить условия,чтобы они лежали на окружности диаметра L. Тогда L оказывается инвариантным во всех этих преобразованиях.

Расчёты по п.1 и п.2 сделаны и никаких проблем не вызвали.Могу их выложить здесь, но это большие простыни.Методы,коими они сделаны,легко расширяются на 3-х и 4-х мерие.

Пока буду анализировать результаты.

[Алексей К.]

PSP в сообщении #1115965 писал(а):

Расчёты по п.1 и п.2 сделаны и никаких проблем не вызвали.Могу их выложить здесь, но это большие простыни.

А не надо расчётов. Достаточно было бы выложить итоговое преобразование, например, для $L=2$. Полагаю, мы бы сумели приложить их к последовательным троечкам точек, например, из этого набора:

$$\setlength{\unitlength}{.5mm}\begin{picture}(50,20)(-25,-5) \thinlines\put(-25,0){\vector(1,0){50}}\put(0,-5){\vector(0,1){22}} \put(-10,0){\circle{20}}\put(0,10){\circle{20}}\put(10,0){\circle{20}} \put(-1,10){\line(1,0){2}}\put(10,-1){\line(0,1){2}}\put(8,-7){\small1} \color{blue} \put(-20,0){\circle*{2}}\put(-10,10){\circle*{2}}\put(0,0){\circle*{2}}\put(10,10){\circle*{2}}\put(20,0){\circle*{2}} \end{picture}$$

[PSP]

Алексей К. в сообщении #1116002 писал(а):

Достаточно было бы выложить итоговое преобразование, например, для $L=2$

Хорошо,как смогу по времени,выложу здесь такое преобразование.
Будет очень полезно посмотреть, что такие преобразования дают.

[provincialka]

PSP в сообщении #1115841 писал(а):

Ищется такая подгруппа, в коией существует такой диаметр,который инвариантен.

Хм... ведь существует много окружностей диаметра $L$. Что вы понимаете под "инвариантностью диаметра"? Два варианта:

1. Всякая окружность диаметра $L$ переходит в окружность диаметра $L$.
2. Некая выделенная окружность диаметра $L$ переходит в окружность диаметра $L$.

[Алексей К.]

provincialka в сообщении #1116084 писал(а):

Что вы понимаете под "инвариантностью диаметра"?

Вот как это формулировалось изначально:

PSP в сообщении #1115636 писал(а):

Найти такую подгруппу, в коией если 3 точки лежат на окружности диаметра L,то и образы этих точек должны лежать на окружностях диаметра L.

Выделенность именно диаметра (числа), а не окружности (множества точек), неоднократно подчёркивалась.
/* только сейчас множ. число заметил: "должны лежать на окружностЯХ" */

Вот как уточнялось формально:

Алексей К. в сообщении #1115828 писал(а):

1. Не эквивалентно ли предъявленное требование следующему:
Найти подгруппу $G(L)$, в которой любая окружность диаметра L преобразуется в окружность диаметра L. (курсив мой --- AK)

Возражений не было.

Вот как уточнялось уже НЕформально, типа образно:

Алексей К. в сообщении #1115847 писал(а):

Заполните поверхность ближайшего стола 10-рублёвыми монетами. ... итд.

Возражений не было.

Так что ждём... Лично я, не особо петря в математике, жду с нетерпением. Правда, завтра отпуск кончится, и я, скорее всего, снова выключусь. Проявлю восторг, и выключусь.

[DeBill]

PSP в сообщении #1115163 писал(а):

Преобразования, коие интересуют,имеют вид:

$$\left(\frac{Ax + By + C}{Gx + Hy + I},\frac{Dx + Ey + F}{Gx + Hy + I}\right).$$

Это - проективные преобразования плоскости. Обратите внимание: точки, в которых знаменатель обращается в нуль (а их - целая прямая) - уходят на бесконечность.

PSP в сообщении #1115525 писал(а):

вида :

$$\left(\frac{Ax + By }{Gx + Hy + I},\frac{Dx + Ey }{Gx + Hy + I}\right).$$

А это - подгруппа проективной группы преобразований, оставляющей начало координат на месте. Чем они Вам лучше прочих?

PSP в сообщении #1115163 писал(а):

комплексные преобразования вида :
$\frac{Aw + C}{Gw + I}$

А вот это и есть то, что называют дробно-линейными преобразованиями: точки плоскости отождествляют с комплексными числами. На бесконечность уходит токо одна точка (см. пост arseniivа). При расшифровке комплексного числа $z=x+iy$ такие преобразования не сводятся к проективным: получатся совсем другие формулы.
Свойства: сохранение окружностей - это про дробно-линейные. Проективные: окружности, вообще говоря, не сохраняют: переводят их в эллипсы, параболы или гиперболы (но никогда - в прямые).

-- 17.04.2016, 23:50 --

Что-то формулы Ваши не пропечатались.. Ну да ладно.
И, наконец, вопрос, который сформулировала provincialka
:1) ЛЮБАЯ окружность диаметра $L$ или 2) Некоторая ФИКСИРОВАННАЯ? О каком из них у нас речь????
Ответ на вопрос 1) уже дал arseniiv. Действительно, если реально есть в плоскости точки, уходящие на бесконечность, то окружность, проходящая через такую точку, уйдет не туда куда надо. Значит, на бесконечность уходит токо бесконечно удаленная прямая (преобразование - аффинное). Коль окружность перешла в окружность, то это преобразование - движение с растяжением. Коль сохранился (хотя бы один) диаметр , то это - движение.
Если же речь в вопросе 1) о дробно-линейных, то ответ все равно такой же (только без симметрий) - из аналогичных рассуждений.
2) а) Для фиксированной окружности, которая будет переходить в себя
Для проективных: помимо поворотов с центром, совпадающим с центром окружности, есть и другие. Их можно описать так: спроектируем плоскость из точки О на другую (непараллельную) плоскость. Наша окружность перейдет в эллипс (пусть). Аффинным преобразованием переведем его в исходную окружность....
Для дробно-линейных: подгруппа, оставляющая данную окружность на месте, состоит из поворотов , и симметрий относительно окружностей, ортогональных данной.
б) Для фиксированной, которая перейдет в такую же, но не в себя: не очень понятно. Коль мы хотим соорудить группу, то это выродится в п. а), скорее всего.

-- 17.04.2016, 23:57 --

PSP в сообщении #1115965 писал(а):

1.Искомое преобразование полностью определяется 3-мя точками исходника и 3-мя соответствующими точками образа.

Ну да - если начало координат остается на месте. Вот только : если исходные точки, а также и их образы, лежат на окружностях диаметра $L$, то, увы, нет никаких гарантий, что первая окружность перейдет во вторую (может перейти в параболу, например). А какой у параболы диаметр?

[arseniiv]

(Оффтоп)

О, спасибо! У меня глаз замылился, и я даже не заметил, что было написано, что проективные якобы оставляют окружности на месте, мда…

[PSP]

Вы тут все правы - это движение.
У меня возник вопрос - есть ли литература о таких дифференциальных уравнениях,коие инвариантны относительно дробно-линейных преобразований.?
Пока я нашёл только одно - уравнение Рикатти...