2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 16:15 
В книге «Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств» доказывается следующая теорема

Изображение

Почему после выбрасывания останется конечное или счетное множество? Может я слишком занудный, но мне кажется, это рассуждение создает лишь иллюзию доказательства.

Аналогично можно доказать и континуум гипотезу. Пусть $B$ — подмножество $\Bbb R$. Представим множество $\Bbb R$ как $\{a_\alpha, a_\beta, \cdots \}$. Выбросим из последовательности $a_\alpha, a_\beta, \cdots$ те элементы, которые не принадлежат $B$. Тогда оставшиеся элементы образуют либо конечную цепь, либо счетную, либо континуальную. ЧТД

Стоит ли дальше использовать эту книгу для знакомства с теорией множеств? :roll:

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 17:02 
Ну если рассуждения из этой книги вас не удовлетворяют, то конечно надо книгу сменить.
С другой стороны, возможно вобще подходящих книг не найдется)

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 17:11 
ellipse в сообщении #1116037 писал(а):
В книге «Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов

ellipse в сообщении #1116037 писал(а):
Теперь сомневаюсь, стоит ли дальше использовать эту книгу для знакомства с теорией множеств. :roll:

Я тоже месяца два назад пытался начать изучать эти разделы математики с этой книги. Так у меня ну очень тяжело она шла, хоть мне ее и порекомендовали здесь. С трудом дочитал до теоремы Кантора-Бернштейна разбирал, разбирал ее доказательство, да так и не понял до конца, просто выдохся. Впечатления от этой книги остались почти до отвращения (потом, может, и подзабудется, а, может, даже и понравится), хотя в аннотации и сказано, что книга рассчитана на школьников, ну, думаю, подготовлюсь к основательному изучению этих штук. Ага, как бы не так! Короче, искал, искал, с чего бы начать и нашел я комплект Игошина. Сейчас изучаю да радуюсь. Все растолковано почти на пальцах. А импликация так вообще преподнесена с оригинальной точки зрения. Во всяком случае, у других авторов на такую интерпретацию импликацию есть только легкий, едва уловимый намек. Она ими преподносится как данность, ложная в единственном случае и баста! А у него совсем по-другому. Короче, очень его рекомендую. Хотя, справедливости ради, нужно сказать, что в его задачнике опечаток ну очень много.

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 20:49 
Аватара пользователя
ellipse в сообщении #1116037 писал(а):
Почему после выбрасывания останется конечное или счетное множество?
А там не сказано "конечное или счётное". Там сказано "конечное или бесконечное". И почему это бесконечное оказывается счётным, надо ещё сообразить.

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 20:54 
Аватара пользователя
Скажите, ellipse, Вам знакомы термины
1) последовательность
2) подпоследовательность?

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 21:25 
Anton_Peplov в сообщении #1116121 писал(а):
Скажите, ellipse, Вам знакомы термины
1) последовательность
2) подпоследовательность?
Известны. Понятно, что элементы из $B$ образуют подпоследовательность. Но именно это и есть суть теоремы, которую нужно доказать.

Скорее всего, доказательство нужно основывать на факте, что всякое непустое подмножество натуральных чисел имеет минимальный элемент, предварительно упорядочив $A$ согласованно с натуральной индексацией.
Если $B=B_1$ не пусто, то в нем найдется минимальный элемент. Обозначим его $b_1$. Если $B_2=B_1\setminus \{b_1\}$ не пусто, то в нем также найдется минимальный элемент. Обозначим его $b_2$. Если уже определено $B_n$ и оно пусто, то останавливаемся, если $B_n$ не пусто, то в нем найдем элемент $b_{n}$ и положим $B_{n+1}=B_n\setminus \{b_n\}$. Действуя так, мы определим функцию $f:[1,n] \to B$ или $f:\Bbb N \to B$. Хотя это тоже надо как-то обосновать, используя понятие индуктивного (или рекурсивного) определения функции.

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 21:49 
ellipse в сообщении #1116037 писал(а):
$\mathbb R$ как $\{a_\alpha, a_\beta, \cdots \}$
Вот тут бы поподробнее. Обычно так обозначаются последовательности, а индексы натуральные числа $1, 2, \dots$. Последовательность имеет конечную либо счётную мощность, это понятно? Поэтому теорема и верна. А ваша только маскируется — либо вы используете обычное определение последовательности, и тогда вам не удастся выстроить множество действительных числ; либо вы таким странным образом записываете $f:{\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}$, и всё не менее печально.

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 22:04 
Аватара пользователя
ellipse в сообщении #1116127 писал(а):
Понятно, что элементы из $B$ образуют подпоследовательность.
Вероятно, авторы считали этот факт очевидным для читателя. Однако я соглашусь с Вами, что он сводится к утверждению "всякое бесконечное подмножество $\matbb{N}$ счетно", которое эквивалентно утверждению, которое мы пытаемся доказать.

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 22:30 
iifat в сообщении #1116135 писал(а):
ellipse в сообщении #1116037 писал(а):
$\mathbb R$ как $\{a_\alpha, a_\beta, \cdots \}$
Вот тут бы поподробнее. Обычно так обозначаются последовательности, а индексы натуральные числа $1, 2, \dots$.
Можно считать, что эта запись означает вполне упорядоченность. Хотя я просто хотел показать необоснованность рассуждений.

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 22:32 
Аватара пользователя
ellipse в сообщении #1116152 писал(а):
Хотя я просто хотел показать необоснованность рассуждений.

Хотел, но не смог! :D

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 22:32 
Anton_Peplov в сообщении #1116142 писал(а):
Вероятно, авторы считали этот факт очевидным для читателя.
Мне кажется, теория множеств такой раздел математики, который и создан, чтоб строго доказывать такие очевидные факты.

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 22:36 
Аватара пользователя
ellipse в сообщении #1116155 писал(а):
Мне кажется, теория множеств такой раздел математики, который и создан, чтоб строго доказывать такие очевидные факты.
Если уж доказывать строго, то это к формальной аксиоматической теории множеств. А если мы остаемся в рамках естественного языка, придется полагаться на те или иные "очевидности". И какие очевидности более очевидны - нетривиальный вопрос.

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение17.04.2016, 23:23 
Аватара пользователя
ellipse в сообщении #1116152 писал(а):
iifat в сообщении #1116135 писал(а):
ellipse в сообщении #1116037 писал(а):
$\mathbb R$ как $\{a_\alpha, a_\beta, \cdots \}$
Вот тут бы поподробнее. Обычно так обозначаются последовательности, а индексы натуральные числа $1, 2, \dots$.
Можно считать, что эта запись означает вполне упорядоченность. Хотя я просто хотел показать необоснованность рассуждений.
Нельзя. Это противоречит общепринятому в теории множеств смыслу использованных Вами символов.

Да, при наличии аксиомы выбора множество действительных чисел вполне упорядочить можно, но
ellipse в сообщении #1116037 писал(а):
Представим множество $\Bbb R$ как $\{a_\alpha, a_\beta, \cdots \}$. Выбросим из последовательности $a_\alpha, a_\beta, \cdots$ те элементы, которые не принадлежат $B$. Тогда оставшиеся элементы образуют либо конечную цепь, либо счетную, либо континуальную
последнее утверждение никак не следует из предыдущих. А в случае счётного множества следует.

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение18.04.2016, 00:46 
Someone в сообщении #1116175 писал(а):
Да, при наличии аксиомы выбора множество действительных чисел вполне упорядочить можно, но
ellipse в сообщении #1116037 писал(а):
Представим множество $\Bbb R$ как $\{a_\alpha, a_\beta, \cdots \}$. Выбросим из последовательности $a_\alpha, a_\beta, \cdots$ те элементы, которые не принадлежат $B$. Тогда оставшиеся элементы образуют либо конечную цепь, либо счетную, либо континуальную
последнее утверждение никак не следует из предыдущих. А в случае счётного множества следует.
Почему следует? Мои рассуждения с использованием минимального элемента верные или можно проще?

 
 
 
 Re: Подмножество счетного множества
Сообщение18.04.2016, 02:12 
Аватара пользователя
ellipse
Могу порекомендовать книгу Daniel Velleman "How to prove it: a structured approach". Но может не очень разумно решать всё подряд из неё. В последней главе есть такая теорема, с доказательством: Если существует инъекция $f\colon A\to\mathbb{Z}^+$, тогда $A$ - счётно. Доказательство использует множество других теорем, "существование наименьшего элемента", и рекурсивное определение.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group