Решение системы нелинейных уравнений

[svv]

Если Вы делаете так, могу подтвердить, что интегральная формула для коэффициентов у Вас правильная. Я бы сказал, она чудом получается правильная, так как Вы в нескольких пунктах отступаете от прямого следования Левину. Хотя допускаю, что это результат аккуратного вывода. Выражение для $K$, входящее в формулу, Вы не приводили, и я его проверить не мог, но, во всяком случае, оно зависит от $n$, поэтому лучше писать $K_n$.

Замена, которую Вы привели, хорошая. Если с ней что-то не получается, замена не виновата. Ведь можно сделать так: взять известные параметры $p, a_1, a_2, s_1, s_2$. Найти $c_0,...,c_5$. И вычислить $V_1, U_1, W_1, V_2, U_2, W_2$. С одной стороны, для них получатся вещественные, а не комплексные, значения. С другой стороны, эти шесть величин обязаны удовлетворять системе после замены. Так что виновата программа, не умеющая найти все решения системы.

Кстати, Вы заметили, что коэффициенты перед степенями $a$ и $-1+s^4$ в системе те же, что и коэффициенты при степенях $x$ в полиномах Эрмита? Это позволяет красиво и компактно записать все уравнения системы, примерно так:
$V_1 W_1^{n/2} H_n(Q_1)+V_2 W_2^{n/2} H_n(Q_2)=c_n$,
где $Q_1=U_1/\sqrt{W_1}$.
К сожалению, это не облегчает решение системы. Но решением в любом случае должна заниматься машина.

Ещё вопрос: значения дисперсий $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ в Вашей задаче обычно больше единицы или меньше?

[Алексей К.]

Vanish в сообщении #1114755 писал(а):

Однако, после такое замены, решение относительно новых переменных - комплексное,

И всё же --- что это значит?
Их же там прорва должна быть! И одно найденное оказалось комплексным?

Я всё-таки зацепился за Вашу систему.
Сначала оттого, что встрял с редакторскими правками (показалось поначалу, что имею дело с ещё бОльшим чайником/лентяем, нежели я сам ).
И как бы неприлично было не попробовать, после Вашей реакции на мою критику, неожиданной по нынешним временам...

Потом начал пробовать, в плане поразлагать в ряды и получить систему попроще для поиска хотя бы хорошего первого приближения. Ну типа, мне кажется это очень важно для игр с численными решениями.

Потом меня возмутило то, что, исключив $V_1,V_2,W_1,W_2$ и получив $F(U_1,U_2)=0$ и $G(U_1,U_2)=0$, я не получил ожидаемой симметрии типа $F(U_1,U_2)=G(U_2,U_1)$, которая, как мне кажется, следует из симметричности всех предыдущих шести уравнений в плане замен $(U_1,V_1,W_1)\leftrightarrow(U_2,V_2,W_2)$.
То ли опечатку где-то устроил (уж всё обыскал), то ли алгебраическая малообразованность подводит, то ли ещё что-то...

Ответьте, плииз: что именно там у Вас комплексного? Всего лишь одно из найденных решений системы?

[Vanish]

to svv:
Да, там $K=K(n)$, поэтому согласен с вашей записью $K=K_n$.
Прямое отступление от Левина, как вы правильно указали, есть результат аккуратных, несколько раз поверенных выкладок. У Левина рассматривается только частный случай, поэтому конечные соотношения выглядят немного иначе.
Угу, заметил. Отсюда возникла мысль, что т.к. полиномы Эрмита выражаются рекуррентно, попробовать порешать систему из рекуррентных соотношений.. Пока идея находится в стадии проработки)

Значения дисперсий в задаче меньше 1, более того, скорее всего выполняется следующее соотношение:
$\sigma_1+\sigma_2\approx1$
Это тоже может являться одним из ключиков к решению.

to Алексей К.

Наоборот, ВСЕ, найденные программой решения, оказались комплексными. Если бы одно, никто бы и не заморачивался по этому поводу
Тоже делал разные выкладки. Симметрия достаточно неоднозначна! Возможно, в виду неудачной начальной замены.

[svv]

Vanish в сообщении #1115882 писал(а):

Наоборот, ВСЕ, найденные программой решения, оказались комплексными.

Так это же безобразие со стороны программы! В Ваших руках готовая жалоба:

svv в сообщении #1115324 писал(а):

Ведь можно сделать так: взять известные параметры $p, a_1, a_2, s_1, s_2$. Найти $c_0,...,c_5$. И вычислить $V_1, U_1, W_1, V_2, U_2, W_2$. С одной стороны, для них получатся вещественные, а не комплексные, значения. С другой стороны, эти шесть величин обязаны удовлетворять системе после замены.

Пожалуйста, проделайте эту проверку. Вычислите все $U,V,W$ и проверьте, что они удовлетворяют системе после замены.