краевые задачи ОДУ их место в учебных курсах

[eugrita]

Хотелось бы уточнить, где и в каком контексте сейчас излагают в ВУЗах краевые задачи в ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнениях). К этой теме относиться и классическая задача Штурма-Лиувилля.
упоминания о краевых задачах и в мое время были в курсе обыкновенных дифф.уравнений
Но если рассуждать про межпредметные связи то тема "Краевые задачи" смыкается с самостоятельными направлениями Теория операторов->Дифференциальные операторы. Функции Грина, интегральные уравнения , Вариационное исчисление (вариационные методы) - именно там устанавливается эквивалентность краевой задачи экстремуму функционала. Те же многочисл учебные задачи сопромата и теории упругости - устойчивости стержней с разл усл закрепления - это та же тема.
задача Штурма-Лиувилля как тема все же шире одномерной так как есть ее расширения для оператора Лапласа, для уравн Бесселя, отдельно для периодических функций...
Метод функций Грина для физиков излагают обычно для распределенных систем -в теор упругости все же а не одномерных, описываемых аппаратом ОДУ.
Именно эта тема - краевые задачи ОДУ является "испытательной площадкой" численных методов - конечных разностей, МКР, стрельбы и пр. и используется в компьют практикумах по информатике или ВМ

[eugrita]

очерк Круликовского (ТГУ) "Пути развития спектральной теории обыкн дифференциальных операторов" освещает достаточно сложный и тернистый путь теории собственных значений и собственных функций начиная от Классической теории собств значений краевых задач для ду (задача Штурма-Лиувилля) далее на основе Теории симметрических линейных интегральных уравн (теория Гильберта-Шмидта) строится спектральная теории линейных операторов в гильбертовом пространстве. Далее теория расширяется до спектральной теории обыкновенных сингулярных дифференциальных операторов (Вейль).
-------------------------------------------------------------------------------------------
Уточняю что бы я хотел получить из обсуждения.
1)прежде всего хотел бы получить простую и понятную для среднего троечника студента интерпретацию на примерах краевых задач ОДУ а не ур.матем физики что же все таки такое функция Грина ? Какие
аналогии ее как ядра интегрального представления Может имеет смысл перейти к спектрам? Может это похоже на переходную функцию в теории линейных систем?
2)Как наиболее понятно объяснить разрывный характер краевых ее условий?
Для чего вообще нужно такое интегральное представление решения в ОДУ?
$y(x)=\int {G(x,\xi)d \xi }$
Какой смысл оно несет? (Ведь методов решения ОДУ достаточно и аналитических, и качественных методов динамических систем и численных правда больше для задачи Коши)
(Наверное для любого преподавателя это надо объяснить студенту прежде чем нагружать примерами и задачами по нахождению функций Грина)

[Red_Herring]

А что это такое "разрывный характер краевых ее условий"?

[eugrita]

имеется ввиду $G'_x(x,s)|_{x=s+0}-G'_x(x,s)|_{x=s-0}=1$

[Red_Herring]

Ах, это только для второго порядка и с ведущим коэффициентом 1. А в современном выражении это просто означает что $L_x G(x,y) =\delta (x-s)$.

[eugrita]

Для меня хотя давно знал понятие импульсной переходной характеристики динамической системы было нова ее связь с функц Грина. Несмотря на сходство в определениях
"Импульсной хар-кой системы $k(t,\tau)$называется её реакция на единичный импульс при нулевых нач условиях" причем для стационарной системы она зависит от 1 аргумента $t - \tau$
в Энциклопедии кибернетики прямо указана связь импульсной переходной функции И.П.Ф и
ф.Грина

все же как ни крути, определение ф.Грина через скачок (выше) далеко от наглядности и затрудняет понимание ее и важность у студентов впервые с этим знакомящихся

2)Я так же думаю, что математическое понятие ф.Грина надо шире использовать (и это делают некот авторы) в курсах сопромата или теории упругости. (на эту тему подробнее позже)

вот нашел сейчас вроде подробную книгу на эту тему
Лотар Коллатц Задачи на собственные значения (с техническими приложениями)
автор касается как математической стороны так и физической (продольный изгиб стержней ,критич частоты)

[eugrita]

по-моему маленькая но существенная разница между похожими определениями импульсной ф и ф.Грина
это то что первая - реакция системы при 0-нач.усл (т.е по математике - з-ча Коши) а вторая - при заданных краевых усл (т.е. по математике - краеая задача). первая возникла в автоматике (ТАУ). Интересно, есть ли применение в тех же САР и функций Грина?

[gevaraweb]

Я учился на "чистого" математика и, к сожалению, совершенно не знаю приложений функции Грина (хотя как бы разобрался и в теореме, и в доказательстве). В затуманенном формулами мозгу лишь была мысль, что это просто очередная формула решения очередной задачи - в данном случае, Штурма-Лиувилля )