Как разбить натуральные числа на 6, а затем на k подмножеств

[Ktina]

Можно ли разбить натуральные числа на 6 групп так, чтобы для любого натурального $n$ числа $n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n$ были в разных группах?

Мне кажется, что нельзя, но я всё-таки рискну.
Раскидаем все натуральные числа в шесть ящиков по остаткам от деления числа $a+3b+5c$ на 6, где $a$ - количество двоек в разложении числа $n$ на простые множители, $b$ - количество троек и $c$ - количество пятёрок.

Вроде работает, если ничего не упущено?

И более общий вопрос - а существует ли натуральное $k$, при котором нельзя разбить натуральные числа на $k$ групп так, чтобы для любого натурального $n$ числа $n, 2n, 3n, 4n, 5n, 6n, \dots , kn$ были в разных группах?

Пожалуйста, помогите решить.
Заранее спасибо!

[kknop]

Да, работает . И еще то же самое можно сделать для $2a+b+5c$.

И для общей ситуации вроде почти так же решается.
(Ну то есть я не знаю, как автор решал, но мое решение сходу дало вот те два варианта, которые я сейчас знаю)

[Ktina]

kknop
Спасибо!

Решение автора, как и его имя, мне неизвестно, задача вот отсюда:
http://mathcenter.spb.ru/16/ser-all.pdf
(серия №11, задача №83)

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: просьба ТС.