контр пример (несобственные интегралы)

[provincialka]

(spoiler)

Ну просто возьмите нулевую функцию и "попортите" её узкими высокими пиками. Например, высотой 1. Или даже неограниченно возрастающей высоты!

[Grand.Master]

тогда соединим линейно точку в 1 и какую нибудь точку $x_0$, где $y(x_0)=0$ и получим непрерывную функцию

-- 12.04.2016, 23:39 --

provincialka
А интеграл соответствующий сойдется?

[provincialka]

Что значит "соединим линейно"? Одним отрезком тут не обойдёшься.

Grand.Master в сообщении #1114523 писал(а):

А интеграл соответствующий сойдется?

С одним отрезком? Сойдётся, но он не удовлетворяет условию, так как начиная с некоторого места функция равна 0 (если я правильно поняла ваше описание).

Нужна "импульсная" функция с тоненькими-претоненькими пиками.

[demolishka]

Grand.Master, если Вам недостаточно уже сделанных подсказок, то для таких задач Вы еще не созрели. По Вашим ответам видно, что Вам даже лень думать, лишь бы написать первое что придет в голову.

[Grand.Master]

demolishka
Ладно, не созрел так не созрел...
В любом случае, спасибо за помощь...

[provincialka]

Grand.Master
Хм... а что в моей подсказке непонятно? Мне кажется, я уже практически ответ вам дала... надо только над шириной "пиков" поколдовать...

[Grand.Master]

provincialka
не, все понятно.. я разобрался с тем, что вы написали, спасибо.)

[provincialka]

Grand.Master
Ну и как вы подобрали ширину пиков?

[INGELRII]

Есть хорошее правило для построения всяческих примеров-контрпримеров функций: проще всего построить кусочно-заданную функцию. В частности, здесь прекрасно подойдет непрерывная кусочно-линейная. Задайте, скажем, такую функцию: возле каждого целого значения аргумента ее график имеет вид равнобедренного треугольника с основанием меньше единицы и высотой не меньше единицы, а на значениях аргумента между двумя соседними треугольниками функция пусть будет равна нулю. Тогда ваш интеграл для этой функции будет равен сумме площадей всех треугольников. Подберите такие значения параметров этих треугольников (основания и высоты), чтобы сумма эта существовала и была равна, ну например, единице. Затем взгляните на построенную функцию и убедитесь, что интеграл ее сходится, а предела на бесконечности нет. По построению. И будет вам счастье.

Справитесь?

[alisa-lebovski]

Грубо говоря, нужна последовательность "пиков" одинаковой высоты, через одинаковые промежутки, но все более узких, чтобы полная площадь под ними была конечной.

[g______d]

Там, где есть пример с пиками, обычно есть пример с синусом. Например, посмотрите на функцию $\frac{1}{1+x^{100}\sin x}$.

Я не имею права говорить ответ, поэтому конкретно этот пример не подходит (почему? Упражнение). Но его легко исправить.

[ewert]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1114862 писал(а):

Например, посмотрите на функцию $\frac{1}{1+x^{100}\sin x}$

Вредно на неё смотреть -- глаза ослепнут. Уж слишком блистательно она не соответствует теме.

[g______d]

ewert в сообщении #1115384 писал(а):

Уж слишком блистательно она не соответствует теме.

В смысле? Вы не согласны с "легко исправить"?

[ewert]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1115397 писал(а):

Вы не согласны с "легко исправить"?

Легко было исправить мой пример (впрочем, там и исправления особо так не требовалось, разве что в сугубо стилистических целях -- избавиться от доопределений по непрерывности). Ваш же совершено непонятно, в какую сторону исправлять. Он ведь не просто расходится, но расходится бесконечное к-во раз. Не говоря уж о знакопеременности.

[g______d]

ewert в сообщении #1115404 писал(а):

Ваш же совершено непонятно, в какую сторону исправлять. Он ведь не просто расходится, но расходится бесконечное к-во раз.

Ну, для примера важны пики, которые в противофазе этим расходимостям. Поэтому расходимости можно просто убрать, например, возведя синус в квадрат.