Площадь поверхности вращения вокруг Оу

[provincialka]

Если вам так мешает $x$, может, использовать другую букву, что ли? Хм...
Вот есть у вас интеграл

$$S=2\pi\int\limits_a^b x(y) \sqrt{1+(x'(y))^2}dy$$

Введите обозначение $t = x(y)$. Тогда $dt = x'(y)dy = dx$ и $dy = \dfrac{dt}{x'(y)}=y'(t)dt$
Впрочем... так можно ещё больше запутаться...

[svv]

provincialka
Может, легче будет, если различать в обозначениях величины и связывающие их функции? Ну, типа: если $x=f(y)$, то
$I=\int\limits_{y_1}^{y_2} f(y) \sqrt{1+(f'(y))^2}\;dy$

Пусть $y=g(t)$, тогда по формуле замены переменной
$I=\int\limits_{t_1}^{t_2} f(g(t)) \sqrt{1+(f'(g(t)))^2}\;g'(t)\;dt=\int\limits_{t_1}^{t_2} f(g(t)) \sqrt{\Bigl(g'(t)\Bigr)^2+\Bigl(f'(g(t))\;g'(t)\Bigr)^2}\;dt$

Обозначим $h=f\circ g$. По формуле производной сложной функции $h'(t)=f'(g(t))\;g'(t)$, и
$I=\int\limits_{t_1}^{t_2} h(t) \sqrt{(g'(t))^2+(h'(t))^2}\;dt$

Дальше пусть $g=f^{-1}$, тогда $h=\operatorname{id}, \;x=t, \; h'(t)=1$ и т.д. Или это ещё страшнее? Но, может, Grand.Master по складу мышления формалист?