|
Современные проблемы математического знания относятся к наиболее фундаментальным аспектам научного знания в целом и тесно связаны с корректностью современных представлений о строении мироздания. Одной из важнейших проблем здесь можно считать то, что вопросы, относящиеся непосредственно к основам математики, в силу особого влияния математического знания на науку, должны исследоваться в контексте взгляда на основы математики извне, т.е. со стороны более фундаментальных по отношению к математике наук. Хотя сегодня в философии математики существует и мнение, что более фундаментальной, чем математика, науки нет и быть не может. Тем не менее, основанием для вывода о необходимости взгляда на математику «извне» можно считать и то обстоятельство, что современная абстрактная математика, по сути, в значительной мере исчерпала ресурсы для своего дальнейшего развития. Но главный аргумент состоит все же в том, что современное состояние математической науки не может считаться вполне адекватным тем требованиям, которые предъявляет к науке высшая цивилизационная цель и высшая цель науки.
На современном этапе развития математической науки необходимо констатировать, что проблему адекватности используемых в математическом познании логических конструкций, которые представлены, в частности, и в метаматематике и в проблеме когнитивных особенностей человеческой деятельности по математическому приложению и ряде других проблем, абстрактной математике решить не удалось. По сути, математике необходимо предпринять значительные усилия, чтобы дать ответы на проблемные вопросы, независимо от того будут они инициированы извне или изнутри математики, но, безусловно, относящиеся к математике.
От каких наук математика вправе ожидать предложений, которые могут изменить ее аксиоматическое основание, иными словами, какие науки следует признать сегодня более фундаментальными относительно математики? Первой из таких наук, безусловно, следует признать науку познания, как систему законов познания (где сформулирован и верифицируемый математический закон), которую можно назвать и фундаментальной наукой идеального. Другой наукой, от которой математике следует ожидать подобного уровня предложений, является, безусловно, физика, но только постнеклассическая физика, а не классическая или неклассическая, которые сами оказались в плену идей и отчасти заложниками абстрактной математики. Поэтому идеальное корректнее интерпретировать как фундаментальное именно в постнеклассическом физическом смысле, где не только пространство варьирования отношений существует независимо от сознания исследователя, но и где сама физическая реальность фундаментального уровня описания утверждается не только как некая близость с теоретической моделью, но как ее полная научная тождественность.
Сегодня можно констатировать, что наука в целом продолжает широко использовать все грани (в том числе и ошибочные) стратегии абстрактной математики, по сути, недостаточно уделяя внимания тем слабым сторонам абстрактной математики, которые требуют рефлексии, прежде всего, с позиций математического закона науки познания и физического обоснования аксиоматических основ математики. Закон рациональности природы в этом контексте требует простоты научных теорий. Необходимость и достаточность терминов и понятий научных теорий в этом контексте следует рассматривать также как требование простоты научных теорий. Данное требование может быть выражено количественно буквально как изложение теории в минимальном объеме.
В процессе развития науки постоянно подчеркивались особенности взаимоотношений физики и математики. Традиционно отмечается эффективность и фундаментальность именно математических структур для развития точных наук, чему особенно способствуют, как принято считать, абстрактные математические методы, возникшие на почве независимой разработки обобщающих логических построений. Эффективность абстрактной математики неоднократно отмечалась и на примере теории относительности, где проводится мысль о структурно-образующей функции математики при построении физических теорий. Отмечается также, что принципиальным является и тот факт, что математические обобщения развивались вне связи с практическими применениями, а просто для достижения логической гармонии.
Однако сегодня необходимо вопрос ставить о том, в какой из математик: физически адекватной или физически абстрактной, по существу, достигается эта объективность, т.к. это две принципиально различные математики.
Основу для физически адекватной математики соответственно могут дать только наука познания и физика, как более фундаментальные науки по отношению к ней, а отнюдь не некие абстрактные рассуждения без понимания устройства фундаментального уровня природы. Тем не менее, в аксиоматике современной абстрактной математики, по сути, присутствуют физические начала, но это начала, взятые от макроскопического мира, которые при детальном анализе не выдерживают научной критики. Считается, что Н.Бор не был приверженцем математического направления в физике, но для признанного мастера физических интерпретаций, физического осмысления и эпистемологического анализа этого недостаточно. С этих позиций было бы вполне логичным поставить под сомнение основы абстрактной математики, которые не имели, по сути, фундаментального физического обоснования, и попытаться вдохнуть в математику физический смысл. Столь замечательный феномен физического познания, как математика просто обязан быть фундаментально физически адекватным. Тем более что не было секрета по поводу истинного (неудовлетворительного) состояния математической логики, особенно по поводу того, что введение особых чисел (0 и 1) в абстрактную математику было весьма некорректно физически. Однако этого не случилось, но таков ход истории развития науки, и тут ничего не поделаешь (прошлое изменить невозможно). Но из этого можно сделать еще один как представляется весьма вывод, что естественнонаучный метод познания, естествознание и наука в целом развивались вне мотивации со стороны высшей цивилизационной цели и понимания высшей цели науки, т.е. в условиях отсутствия науки познания в системном виде.
Основой абстрактной математики, по сути, является антитезис второго положения математического закона, в соответствии с которым абстрактная математика получает возможность присваивать синтезированным физическим объектам произвольные обобщающие признаки (общие имена). Таким образом, она получает право производить абстрактные математические операции над любыми объектами. Но математический закон науки познания утверждает, что абстрактная математика в принципе не имеет области корректного применения для количественной оценки физических процессов, т.к. во всех физических процессах и всегда участвуют только физически тождественные объекты (неоатомы), которые (и только они) имеют право отождествляться с понятием числа. Макроскопические же, т.е. синтезированные из неоатомов, объекты, в соответствии с этим законом, с понятием числа отождествляться права не имеют. Таким образом, сочетание первого и второго положений математического закона науки познания для математики дает принципиально новый научный результат.
Первое требование математического закона устанавливает необходимость
количественной оценки процессов для всех видов научных теорий и ставит
математический закон на уровень верифицируемых законов познания в виду
того, что данный закон непосредственно следует из свойств и структуры
физических объектов фундаментального уровня природы. Второе требование
математического закона вводит ограничение на область применимости
математики, в соответствии с которым применение математических методов
может быть признано научно корректным лишь при описании физически
полностью тождественных объектов. Это позволяет различать абстрактную и
физическую математику, или точнее адекватность указанных математик в
качестве наук. Строго научной соответственно признается только
физическая математика, которая рассматривает объекты материального мира
с позиций их тождественности не по одному, а по всему комплексу
физических свойств, где любая математическая единица должна быть
тождественна любой другой единице именно в физическом смысле. Чем ближе
исследуемые объекты к фундаментальному уровню (чем «элементарнее»
частицы), тем выше уровень их физической тождественности.
С этих позиций абстрактная математика допускает отождествление
самых различных физических объектов через присвоение им общего
имени. Именно таким (абстрактным) путем абстрактная математика
получает некую «тождественность» объектов, а с ним и право производить
фактически над любой комбинацией объектов математические операции. Этот
методический прием, несомненно, позволяет получать некую информацию под
предварительно выбранную цель, однако он не может быть экстраполирован на фундаментальный уровень природы. При установлении фундаментальных законов природы производить математические операции над системами, в
которых могут быть смешаны «огурцы и гвозди», причем на том единственном
основании, что они названы неким общим именем исходя из формы или цвета,
для естествознания должно быть признанным не вполне корректным.
Один из главных выводов математического закона состоит в том, что
применение методов абстрактной математики должно быть полностью
исключено при исследовании физических объектов фундаментального уровня и
именно в этом состоит главное отличие абстрактной и физически адекватной
математики. В частности, вывод абстрактной математики о том, что произведение отрицательных чисел дает положительное число, является еще не доказанной аксиома и находится в противоречии с представлениями фундаментального уровня природы. То же касается и произведения положительного числа на отрицательное, которое дает отрицательное число. Но, чтобы привести основы математики и по этим вопросам к фундаментальному физическому обоснованию (которого у абстрактной математики нет) необходимо физически адекватно ввести особые числа. Системы координат могут иметь и другую действительно симметричную структуру, в которой по всем направлениям от нуля располагаются только тождественные положительные числовые оси. Из этого следуют соответствующие выводы и относительно того, что отрицательные знаки при извлечении корня также могут быть исключены, тогда не должно быть соответственно в математике и комплексных чисел, о чем давно уже предупреждали многие выдающиеся математики, например, Лейбниц. Но это не главное, наличие отрицательных чисел в математике еще можно обосновать. Главным же представляется физическая интерпретация геометрических объектов, ввиду того, что именно они доминируют сегодня в математической физике.
Атомистическая программа в античной Гре¬ции формировала, как известно, и
программу математическую. Развитие греческой математики в VI и V вв.
до н. э. связано с пифагореизмом, в котором многие находили и новое по
сравнению с восточной математикой понимание числа и числовых соотношений
и новое представление о задачах математики. С помощью чисел пифагорейцы не только решали приклад¬ные задачи, что имело место и в египетской и в вавилонской математике, но и пытались познать и природу всего сущего. Слова, приписываемые пифагорейцу Филолаю: «...природа числа есть то, что дает познание, направляет и научает каждого относительно всего, что для него сомнительно и неизвестно. В самом деле, если бы не было числа и его сущности, то ни для кого не было бы ничего ясного ни в вещах самих по себе, ни в их сношениях друг к другу». Все это, безусловно, созвучно принципам физически адекватной математике, но не более, ввиду того, что при такой постановке вопроса фундаментальность (приоритет), очевидно, приписывается математике, а не физике. В качестве первого особого числа (единицы) физически адекватная аксиоматика математики вводит неделимую единицу, как конкретный физический объект, отождествляемый с элементарным материальным пространством. Это структурная единица физического вакуума неоатом. Ноль, отождествляется с отсутствием материи (неоатомов) в пространстве, что адекватно только абсолютно пустому пространству. Поэтому физического нуля во Вселенной фактически нет. Это физическое обоснование нуля и единицы, которое в аксиоматиках абстрактной математики просто отсутствует.
Число мыслится пифагорейцами как единство предельного и беспредельного,
или как нечетного и четного, где важным для пифагорейской математики является понятие единицы (по-гречески, монады), которая сама еще не есть число, но лишь «начало» числа. Первое четное число - двойка, а
первое нечетное - тройка. Монада представлена неделимой, обладающей свойством порождать число. Но неделимость монады у них не физическая, а математическая, и в этом состоит отличие пифагорейского понятия монады от демокритовского понятия атома. У пифагорейцев еще нет логико-онтологического обоснования числа. Аристотель считал, что они отождествляли
числа с вещами: «…пифагорейцы признают одно - математическое – число, только не отделенное: они утверждают, что чувственно воспринимаемые сущности состоят из такого числа, а именно все небо образовано из чисел, но не
составленных из отвлеченных единиц: единицы, по их мнению, имеют
пространственную величину. Но как возникла величина у первого единого,
это, по-видимому, вызывает затруднения у них». По существу, это можно рассматривать и как ориентацию на поиск неоатома.
С развитием критицизма и появлением скептических мотивов в
начале у элеатов, а позднее в более резкой форме у софистов возникла необходимость прояснить логическую природу и онтологи¬ческий
статус числа, и тем самым природу той связи, которая существует между
числами и вещами. Софисты доказывали, что познание носит субъективный
характер, определяется особенностями познающего субъекта, поэтому
проблема обоснования математики выступала в тесной связи с вопросом о
возможности истинного зна¬ния вообще. Решением обоих этих вопросов занимался и Платон. Стремясь преодолеть релятивизм и субъективизм софи¬стов, он вслед за Сократом ставит вопрос о надындиви¬дуальном слое в сознании индивида. Сущность «индивидуального», он связывал с телом, а надын¬дивидуальное, как всеобщее с душой и ее центром - умом. Соответственно все, что относится к миру видимому, чувственному, является, по Платону, изменчивым, тлен¬ным и составляет предмет «мнения». К «истинному,
непреходящему и вечному» принадлежит «незримое, нечувственное», которое
постигается только умом и является предметом подлинного знания. С такой постановкой вопроса можно как соглашаться так и не соглашаться, в виду отсутствия в ней полной картины мироздания.
Основы современного математического анализа опираются на числовую ось, которая имеет отрицательную и положительную ветви. Фактически же это не имеет физического обоснования в абстрактной математике. Поэтому, глядя на любой физический объект природы, вообще говоря, необходимо задаваться вопросом о корректности применения к нему понятия числа в его современном представлении, ввиду того, что любой физический объект состоит из огромного числа более мелких объектов, поведение и природа которых еще далеко неясны. Тождественность же объектов положена математикой в основу количественной оценки. Таким образом, обсуждаемый вопрос о тождественности физических объектов сразу же уходит на фундаментальный уровень, и даже не в область субатомной физики современного уровня, а глубже – на уровень
поиска праматерии.
Физически тождественных объектов на сегодня ни естествознание,
ни обществознание пока предъявить не могут. Это обстоятельство требует
понятие числа и «особых чисел» (нуля и единицы) связать с
наиболее фундаментальными объектами мироздания, но отнюдь не математического мира. Тем не менее, математические модели в самых различных областях науки оказалась особенно эффективными, а на определенных этапах и единственно возможной научной методологией и, прежде всего, для тех этапов развития той или иной науки, когда физические модели по
разным причинам создать уже не удавалось. Таким образом, абстрактные математические модели позволяли не останавливать процесса развития конкретных наук и познания в целом. Физика (и другие науки) неоднократно демонстрировали целесообразность и высокую эффективность математической методологии.
Известны и другие крайности. Философия науки, развитая, в частности, в эмпириокритицизме Э.Маха ориентировалась на чисто эмпирический анализ научного опыта и предполагала его очищение от любых философско-теоретических допущений, где математика вообще оставалась вне рамок данной философской программы. Полярной альтернативой эмпиризму была стратегия философии науки, представленная неокантианцами под флагом «чистого познания», которое они отождествляли с математикой и принципами математического естествознания. Именно в математике они видели эталон научности. Представленные школы интересовала, прежде всего, логическая структура научного знания, которая должна быть, по их мнению, единой во всех науках.
Но сегодня вполне закономерен вывод, что именно физическая неадекватность аксиоматики математики, т.е. несоответствие аксиоматических основ математики как науки объективно реальным природным процессам привела в итоге физику к неадекватной современной интерпретации реального мира. Это привело, в частности, и к представлениям о статистической, вероятностной основе мироздания. С позиций физически адекватной математики статистический подход к описанию физических процессов является важным и нужным, но всего лишь как математическим метод (прием) для того, чтобы осуществить количественную оценку сложных (не детерминируемых) процессов. Необходимо заметить, что все сложнее и связано с весьма нелинейным ходом истории развития науки и познания в целом. Вместе с тем статистический подход и понятие вероятности даже в условиях возрождения фундаментальности принципа причинности и актуальности построения математики от физики сохраняют свою научную значимость, хотя и лишь в качестве методического приема осуществления количественной оценки процессов микромира, но
отнюдь не в качестве фундамента мироздания. Причем, это положение,
скорее всего, следует понимать лишь как временный этап на пути развития
науки до тех пор, пока не будет создана та новая концепции математики,
которую можно будет назвать адекватной физической математикой, как более адекватной научной копии природы, которая сможет непротиворечиво отображать физический оригинал. В состав физически адекватной математики, безусловно, войдут и геометрии Евклида и Римана, причем обе, как физически адекватные.
Абстрагирование математики от опыта оправдано лишь на начальных
этапах становления науки недостаточным знанием объективной реальности
и, следовательно, допустимостью разумных фантазий и абстракций. Но
современный этап понимания природы и развития науки уже в состоянии
сформулировать методологические требования и к самой математике и, прежде
всего, со стороны науки познания. Указанное требование в предельно общем
виде формулируется как стратегическая необходимость физического
обоснования особых чисел и фундаментальных положений математики. Это, в
частности, позволит снизить и необоснованную усложненность математики.
Дмитриев Ю.Б. Физически адекватная междисциплинарная математика. М. ИЦМИ,2014, с.221
|
