Позвольте мне использовать обозначения, принятые в справочнике Корна по математике, п.2.4 «Кривые второго порядка (конические сечения)». См. первые три страницы, у меня это 64-66. Там много полезной информации в концентрированном виде. И, по-моему, весь интернет переписывает эту тему у них. Даже в Вики я видел фразу из Корна «Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы ...».
Форма, действительно, важна. Её матрица не изменяется при сдвиге кривой. А при повороте меняется, но «как надо». В частности, сохраняются след и определитель матрицы, а также её собственные значения — корни уравнения
Т.е. след, определитель, собственные значения — инвариантны относительно сдвигов и поворотов. Собственные значения
несут информацию, хоть и не совсем полную, о типе кривой (у эллипса оба значения одного знака, у окружности ещё и равны, у гиперболы разных знаков, у параболы одно равно нулю). Приведению квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием соответствует такой поворот системы координат, чтобы в новых координатах было
. При этом на диагонали будут стоять как раз собственные значения
. Важны и собственные векторы матрицы — они дают направления главных осей.
Я так понимаю, это только поворот уже центрированной кривой (
) вокруг этого центра?
Да. (Хотя формулы дают просто координаты вершин, не обязывая что-то поворачивать.) Действительно, СК выбрана так, чтобы центр кривой совпадал с началом. В общем случае надо:
найти координаты центра
(формулы (2.4-8), эквивалентные Вашим);
найти свободный член в новых координатах:
(формула 2.4-9), определения
и
— формула (2.4-2);
найти вершины в новых координатах по моим формулам для центрированной кривой, подставив в качестве
этот свободный член; остальные величины те же, что и для исходной кривой;
прибавить к координатам вершин
.