Ну, как-то доказалось, наконец...
Утверждение начального поста можно изложить так.
Плоскую кривую длины
с кривизной, монотонно изменяющейся от значения
до
, можно заменить кривой, составленной из трёх гладко сoпряжённых круговых дуг с кривизнами
, и имеющей ту же длину, те же граничные точки и касательные в них.Рис. 1:

На Рис. 1 в левой колонке вверху показан график функции

,

. Это натуральное уравнение некой плоской кривой длины

с кривизной, монотонно возрастающей от

до

. Чисто для понта добавлена лёгкая волнистость.
Под ним прорисован график функции

, описывающей угол наклона касательной к кривой:

Монотонность

влечёт выпуклость графика

. Наклоны граничных касательных к графику равны

и

.
Eщё ниже прорисована сама кривая
![$[x(s),y(s)]$ $[x(s),y(s)]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/1/5/015673eee64bb636d65221db9e7fe39a82.png)
:

Кривая выпущена из начала координат

, касательная в начальной точке направлена вдоль оси абсцисс (

).
В правой колонке исходная функция

подменена кусочно-постоянной функцией

, также монотонной. Положение и кривизна

промежуточного участка вычислены так, чтобы обеспечить те же граничные условия (координаты и наклоны касательных), что и у исходной кривой. График

(бывшая

) становится при этом кусочно-линейным (и по-прежнему выпуклым), а сама кривая --- "кусочно-окружностной". Различия между оригиналом и его окружностной аппроксимацией слабо заметны: точечки, которыми представлена оригинальная кривая, лишь слегка отклонены от круговых дуг.
Рис. 2:

На Рис. 2 приведены ещё пять примеров фунций

, монотонно возрастающих от

до

, и их 3-ступенчатые аналоги. Им соответствуют 5 кривых во второй колонке.
У любого скучающего человека естественно возникает вопрос: а как локализованы конечные точки этих кривых?
Возможность подмены всего

-мерного пространства таких кривых трёхпараметрическим семейством тридуг позволяет скучающему человеку отмоделировать множество концевых точек тремя вложенными циклами: если

--- кривизна и длина первой дуги,

--- кривизна и длина промежуточной дуги,

--- третьей, то параметрами семейства (и переменными циклов) служат

,

и

с ограничениями

Любая современная ЭВМ способна быстренько выполнить три вложенных цикла с разумным шагом по каждой
из переменных. Справа эти пять кривых нарисованы вместе, а серые точки показывают результат моделирования,
т.е. концы тысяч других кривых этого семейства. Границы этого множества, кривые

и

, угадываются лёгким напряжением мозга.
Если кривые

и

продлить за естественные границы изменения параметра, то получится Вау!, показанное на Рис. 3:
Рис. 3:
