Функция Лагранжа свободной материальной точки

[10110111]

Читаю ЛЛ1, §4 "Функция Лагранжа свободной материальной точки". Тут рассматривается функция Лагранжа после преобразования исходной функции $L(v^2)$ в соответствующую движению системы отсчёта со скоростью $\varepsilon$ относительно исходной:

$$L^\prime=L({v^\prime}^2)=L(v^2+2\mathbf{v\boldsymbol\varepsilon}+\varepsilon^2).$$

И говорится

Цитата:

Разлагая это выражение в ряд по степеням $\varepsilon$ и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получаем

$$L({v^\prime}^2)=L(v^2)+\frac{\partial L}{\partial v^2}2\mathbf{v\boldsymbol\varepsilon}.$$

Второй член правой части этого равенства будет полной производной по времени только в том случае, если он зависит от скорости $\mathbf{v}$ линейно.

У меня два вопроса:
1. Чем обосновывается пренебрежение бесконечно малыми высших порядков? Значит ли это, что дальнейшее изложение уже приближённое?
2. Почему второй член правой части должен линейно зависеть от скорости, чтобы быть полной производной по времени? Может, это глупый вопрос, но мне неочевидна справедливость этого утверждения.

[Oleg Zubelevich]

он просто хотИт сказать, что по предположению $L(v^2)=L(v'^2)$ поэтому все члены содержащие $\varepsilon$ должны исчезнуть

[svv]

Есть такая книга: Медведев Б.В. Начала теоретической физики.
Хотя в целом Медведев — автор достаточно самостоятельный, он в некоторых вопросах почти буквально следует изложению Ландау и Лифшица, и в этом тоже. Но у него есть одна фраза, которая чуть проясняет этот момент:

Цитата:

Потребуем этого (чтобы действие менялось не более чем на полную производную — svv) сначала для бесконечно малого преобразования Галилея.

Чуть позже он замечает, что и для конечных преобразований действие также меняется только на полную производную.

[10110111]

Так, с вопросом 2 разобрался: полная производная функции координаты и времени будет

$$\frac{df(r,t)}{dt}=\frac{\partial{f(r,t)}}{\partial r}\frac{dr}{dt}+\frac{\partial{f(r,t)}}{\partial t}=\frac{\partial{f(r,t)}}{\partial r}v+\frac{\partial{f(r,t)}}{\partial t},$$

откуда видно, что зависимость от v линейная.

Oleg Zubelevich в сообщении #741040 писал(а):

он просто хотИт сказать, что по предположению $L(v^2)=L(v'^2)$ поэтому все члены содержащие $\varepsilon$ должны исчезнуть

Тогда бы он пренебрёг всеми ненулевыми степенями $\varepsilon$, разве нет?

svv в сообщении #741042 писал(а):

Но у него есть одна фраза, которая чуть проясняет этот момент:

Цитата:

Потребуем этого (чтобы действие менялось не более чем на полную производную — svv) сначала для бесконечно малого преобразования Галилея.

Да, он даже добавляет в разложение остаток $O(\varepsilon^2)$, однако нигде далее не использует его. А так как полученная в результате функция удовлетворяет требованию идентичности исходной с точностью до полной производной по времени, то возникает вопрос о её единственности. У меня складывается впечатление, что в данном случае почему-то просто рассматривают только функции, у которых все производные высших порядков исчезают. Мне не до конца понятно, почему отбрасываются другие функции.

[10110111]

Всё, понял. Так как $\frac{\partial L}{\partial v^2}$ от скорости не зависит, то

$$\frac{\partial^n L}{\partial (v^2)^n}=0\;\forall n>1,$$

т.е. все высшие производные $L$ тождественно исчезают. Но они являются множителями перед $\varepsilon^n$, поэтому соответствующие члены ряда тоже исчезают.

[iGr]

А вот вопрос такой, если по степеням $\varepsilon$ раскладываем в ряд, почему дифференциал по отношению к $\upsilon$ в квадрате?

[10110111]

iGr в сообщении #1113486 писал(а):

если по степеням $\varepsilon$ раскладываем в ряд, почему дифференциал по отношению к $\upsilon$ в квадрате?

Потому что при дифференцировании по $\varepsilon$ используем правило дифференцирования сложной функции.

[iGr]

Я что-то туплю, но $\upsilon$ от $\varepsilon$ не зависит ведь. Можете показать все разложение?

[10110111]

iGr в сообщении #1113550 писал(а):

Можете показать все разложение?

С нулевой производной, думаю, всё очевидно; первая производная:

$$\frac{\partial L\left({v'}^2\right)}{\partial \vec\varepsilon}=\frac{\partial}{\partial\vec{\varepsilon}} L\left((\vec v+\vec\varepsilon)^2\right)=L'\left((\vec v+\vec\varepsilon)^2\right)2\left(\vec\varepsilon+\vec v\right)$$

Вычисляем в точке $\vec\varepsilon=0$ (точке разложения), умножаем в соответствии с формулой Тейлора первого порядка на $\vec\varepsilon$, получаем что хотели.

[iGr]

Спасибо!